ریاضیات

گذارهای کوانتومی در چاه نامتناهی با اختلال نمایی گاوسی

ذره‌ای در چاه پتانسیل نامتناهی یک‌بعدی قرار دارد:

0 < x < a

اختلال وابسته به زمان به صورت زیر اعمال می‌شود:

V₁(x,t)=λ(x-a/2)e^(-t²/2)

هدف محاسبه احتمال گذار از حالت پایه n=1 به حالت‌های n=2 و n=3 است.

توابع موج و انرژی‌ها

ψₙ(x)=√(2/a) sin(nπx/a)

Eₙ=n²π²ħ²/(2ma²)

فرمول کلی اختلال وابسته به زمان

در مرتبه اول نظریه اختلال:

c_f^(1)= (1/iħ) ∫ V_fi(t) e^(iωfi t) dt

که:

ωfi=(Ef-Ei)/ħ

و:

V_fi(t)= λX_fi e^(-t²/2)

که:

X_fi=

گذار از n=1 به n=2

عنصر ماتریسی فضایی:

X₂₁= -16a/(9π²)

پس:

c₂^(1)= (λX₂₁/iħ) ∫ e^(-t²/2) e^(iω₂₁t) dt

انتگرال گاوسی

از رابطه معروف:

∫₋∞⁺∞ e^(-t²/2) e^(iωt) dt = √(2π)e^(-ω²/2)

استفاده می‌کنیم.

در نتیجه:

c₂^(1) = (λX₂₁/iħ) √(2π) e^(-ω₂₁²/2)

احتمال گذار 1→2

P₁→₂ = |c₂^(1)|²

بنابراین:

P₁→₂ = (2πλ²/ħ²) |X₂₁|² e^(-ω₂₁²)

با جایگذاری X₂₁:

P₁→₂ = (2πλ²/ħ²) (256a²/81π⁴) e^(-ω₂₁²)

گذار از n=1 به n=3

عنصر ماتریسی:

X₃₁=0

زیرا تابع:

(x-a/2)

نسبت به مرکز چاه فرد است و دو حالت n=1 و n=3 تقارن یکسان دارند.

در نتیجه:

c₃^(1)=0

P₁→₃=0

رفتار فیزیکی نتیجه

عامل زمانی گاوسی دارای تبدیل فوریه گاوسی است:

e^(-ω²/2)

بنابراین هرچه اختلاف انرژی دو تراز بیشتر باشد، احتمال گذار سریع‌تر کاهش می‌یابد.

به عبارت دیگر:

ωfi بزرگ ⇒ P کوچک

نتیجه نهایی

برای اختلال:

V₁(x,t)=λ(x-a/2)e^(-t²/2)

داریم:

P₁→₂ = (2πλ²/ħ²) |X₂₁|² e^(-ω₂₁²)

و:

P₁→₃=0

بنابراین گذار به حالت دوم مجاز است ولی با افزایش اختلاف انرژی به صورت نمایی سرکوب می‌شود، در حالی که گذار به حالت سوم به دلیل قواعد تقارنی ممنوع باقی می‌ماند.