فضای فاز و گسیل ذرات؛ تکانه در جعبه و شمارش حالتها
در بسیاری از مسائل مکانیک کوانتومی، فیزیک هستهای و نظریه میدان،
برای محاسبه نرخ گسیل ذراتی مانند فوتون، نوترون یا الکترون باید
تعداد حالتهای ممکن در فضای فاز محاسبه شود.
ذره در یک جعبه
فرض کنید ذرهای در جعبهای مکعبی به ضلع L قرار دارد.
تابع موج باید شرایط مرزی را ارضا کند:
ψ(0)=0
ψ(L)=0
در نتیجه مؤلفههای تکانه کوانتیده میشوند:
px = nh/L
py = mh/L
pz = lh/L
که n و m و l اعداد صحیح هستند.
بردار تکانه
بردار تکانه از سه مؤلفه تشکیل میشود:
p = (px,py,pz)
اندازه تکانه برابر است با:
p² = px² + py² + pz²
فضای تکانه
هر حالت کوانتومی متناظر با یک نقطه در فضای سهبعدی تکانه است.
فاصله نقاط مجاور برابر است با:
Δpx = h/L
Δpy = h/L
Δpz = h/L
بنابراین حجم اشغالشده توسط هر حالت:
ΔVp = h³/V
است که در آن:
V = L³
شمارش حالتها
تعداد حالتهای موجود در حجم d³p از فضای تکانه:
dN = V/h³ d³p
این رابطه پایه بسیاری از محاسبات فضای فاز است.
مختصات کروی در فضای تکانه
برای محاسبات عملی معمولاً از مختصات کروی استفاده میشود:
px = p sinθ cosφ
py = p sinθ sinφ
pz = p cosθ
عنصر حجم در فضای تکانه:
d³p =
p² sinθ dp dθ dφ
انتگرال زاویهای
با انتگرالگیری روی تمام زوایا:
∫ dΩ = 4π
بنابراین:
d³p = 4πp²dp
چگالی حالتها
تعداد حالتهای بین p و p+dp:
dN =
(4πV/h³)p²dp
این رابطه چگالی حالتها در فضای تکانه است.
گسیل فوتون
برای فوتون:
E = pc
در نتیجه:
p = E/c
و:
dp = dE/c
بنابراین:
dN =
(4πV/h³c³)
E² dE
از آنجا که فوتون دو قطبش مستقل دارد:
dN =
(8πV/h³c³)
E² dE
گسیل نوترون
برای نوترون غیرنسبیتی:
E = p²/2m
بنابراین:
p = √(2mE)
و:
dp =
m/p dE
در نتیجه:
dN ∝ √E dE
که چگالی حالتهای ذره غیرنسبیتی را نشان میدهد.
تبدیل جمع به انتگرال
در حجمهای بزرگ فاصله حالتها بسیار کوچک است.
بنابراین جمع روی حالتها به انتگرال تبدیل میشود:
Σ → V/h³ ∫ d³p
این تقریب اساس محاسبات فضای فاز در فیزیک آماری،
فیزیک هستهای و نظریه میدان است.
عنصر بینهایت کوچک فضای فاز
عنصر حجم فضای فاز برای یک ذره:
dΓ = d³r d³p
و تعداد حالتهای کوانتومی:
dN =
d³r d³p
/
h³
است.
نتیجه
برای محاسبه احتمال یا نرخ گسیل ذراتی مانند فوتون و نوترون،
ابتدا حالتهای مجاز تکانه در یک جعبه تعیین میشوند. سپس با استفاده
از شرایط مرزی، حجم هر حالت در فضای تکانه به دست میآید. در حد حجمهای
بزرگ، جمع روی حالتهای کوانتومی به انتگرال فضای فاز تبدیل شده و
چگالی حالتها به صورت تابعی از انرژی یا تکانه محاسبه میشود.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.