ریاضیات

:::writing

مثال از روش ضرایب لاگرانژ

روش ضرایب لاگرانژ برای پیدا کردن بیشینه یا کمینه یک تابع در حالی استفاده می‌شود که تابع دارای شرط (قید) باشد.

مسئله

بیشینه و کمینه تابع زیر را پیدا کنید، به شرط اینکه قید داده شده برقرار باشد.

f(x,y) = x² + y²

با قید:

x + y = 1

تشکیل تابع لاگرانژ

یک ضریب لاگرانژ

λ

معرفی می‌کنیم و تابع زیر را می‌نویسیم:

L(x,y,λ) = x² + y² + λ(1 - x - y)

گرفتن مشتق‌ها

برای یافتن نقاط اکسترمم مشتق‌های جزئی را صفر قرار می‌دهیم:

∂L/∂x = 2x - λ = 0

∂L/∂y = 2y - λ = 0

∂L/∂λ = 1 - x - y = 0

حل معادلات

از دو معادله اول داریم:

2x = λ

2y = λ

پس:

x = y

حال این نتیجه را در قید قرار می‌دهیم:

x + y = 1

2x = 1

x = 1/2

y = 1/2

محاسبه مقدار تابع

f(1/2 , 1/2) = (1/2)² + (1/2)²

f = 1/4 + 1/4

f = 1/2

نتیجه

تابع

f(x,y)

با شرط

x + y = 1

در نقطه

(1/2 , 1/2)

دارای مقدار کمینه

1/2

است. این نتیجه با استفاده از روش ضرایب لاگرانژ به دست آمد.

:::