ریاضیات

بدست آوردن مقادیر ویژه با روش ضرایب لاگرانژ

فرض کنید H یک ماتریس هرمیتی با بعد متناهی باشد. مقدار امیدی این عملگر برای حالت

|ψ〉

برابر است با:

〈H〉 = 〈ψ|H|ψ〉

بردار حالت باید شرط بهنجارسازی را نیز ارضا کند:

〈ψ|ψ〉 = 1

هدف این است که نشان دهیم اگر مقدار امیدی

〈ψ|H|ψ〉

را تحت شرط نرمال بودن بردار حالت کمینه یا بیشینه کنیم، معادله مقادیر ویژه به دست می‌آید.

تابع لاگرانژ

برای اعمال شرط بهنجارسازی از ضریب لاگرانژ

λ

استفاده می‌کنیم و تابع زیر را تعریف می‌کنیم:

L = 〈ψ|H|ψ〉 − λ(〈ψ|ψ〉 − 1)

شرط اکسترمم

برای یافتن نقاط اکسترمم، مشتق تابع لاگرانژ نسبت به بردار حالت را صفر قرار می‌دهیم:

δL = 0

بنابراین داریم:

δ〈ψ|H|ψ〉 − λ δ〈ψ|ψ〉 = 0

با انجام تغییرات کوچک در

|ψ〉

نتیجه می‌گیریم:

H|ψ〉 = λ |ψ〉

نتیجه

رابطه بالا دقیقاً معادله مقادیر ویژه است. بنابراین:

H |ψ〉 = λ |ψ〉

که در آن

λ

یک مقدار ویژه ماتریس

H

است و

|ψ〉

بردار ویژه متناظر با آن می‌باشد.

پس با استفاده از روش ضرایب لاگرانژ نشان داده می‌شود که اکسترمم مقدار امیدی عملگر

H

تحت شرط بهنجارسازی دقیقاً برابر با مقادیر ویژه آن است.