ریاضیات

نشان دادن اینکه مقدار امیدی عملگر H از مقادیر ویژه آن به دست می‌آید

فرض کنید H یک ماتریس هرمیتی با بعد متناهی باشد و عناصر آن به صورت

H_ij

نوشته شوند. همچنین بردار حالت سیستم را با

|ψ〉

نشان می‌دهیم.

شرط بهنجارسازی حالت به صورت زیر است:

<ψ|ψ> = 1

بسط حالت در پایه بردارهای ویژه

فرض کنید مقادیر ویژه ماتریس H برابر

E_n

و بردارهای ویژه متناظر با آن

|n〉

باشند، به طوری که:

H |n〉 = E_n |n〉

از آنجا که بردارهای ویژه یک پایه کامل تشکیل می‌دهند، می‌توان حالت دلخواه

|ψ〉

را به صورت زیر نوشت:

|ψ〉 = Σ c_n |n〉

با استفاده از شرط بهنجارسازی داریم:

Σ |c_n|² = 1

محاسبه مقدار امیدی H

مقدار امیدی عملگر H در حالت

|ψ〉

به صورت زیر تعریف می‌شود:

<H> = <ψ|H|ψ>

اکنون بسط حالت را در این رابطه قرار می‌دهیم:

<H> = (Σ c_i* <i|) H (Σ c_j |j〉)

با استفاده از رابطه مقدار ویژه:

H |j〉 = E_j |j〉

داریم:

<H> = Σ Σ c_i* c_j E_j <i|j>

از آنجا که بردارهای ویژه متعامد هستند:

<i|j> = δ_ij

در نتیجه:

<H> = Σ |c_j|² E_j

نتیجه

پس مقدار امیدی عملگر H برابر با میانگین وزنی مقادیر ویژه آن است که وزن‌ها برابر با

|c_j|²

هستند. از آنجا که مجموع این ضرایب برابر ۱ است، مقدار امیدی بین کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین مقدار ویژه قرار می‌گیرد.