رفتار درازمدت آهنگ گذار در نظریه اختلال وابسته به زمان
در نظریه اختلال وابسته به زمان، یکی از مهمترین نتایج مربوط به رفتار زمانی طولانی سیستم است.
برای اختلال هماهنگ، احتمال گذار به صورت کلی به شکل زیر به دست میآید:
Pm(t)=
[4|Mmn|2/ħ2]
×
sin2[(ωmn-ω)t/2]
/
(ωmn-ω)2
۱. رفتار در زمانهای کوتاه
برای t کوچک داریم:
sin(x) ≈ x
بنابراین:
Pm(t) ∝ t2
در این ناحیه، احتمال گذار بسیار کوچک و رشد آن مربعی است.
۲. رفتار درازمدت (t → ∞)
در حد زمانهای طولانی، تابع زیر رفتار بسیار مهمی دارد:
sin2(x t/2) / x2
این تابع در حد درازمدت به یک تابع دلتا تبدیل میشود:
limt→∞
sin2(x t/2)/x2
=
(π t /2) δ(x)
که در آن:
x = ωmn - ω
۳. نتیجه مهم: قاعده طلایی فرمی
با استفاده از نتیجه بالا، احتمال گذار در زمانهای طولانی به صورت خطی با زمان رشد میکند:
Pm(t) = Wmn t
که در آن Wmn آهنگ گذار (Transition Rate) است:
Wmn =
(2π/ħ)
|Mmn|2
δ(Em-En-ħω)
۴. تفسیر فیزیکی
- در زمان کوتاه: رشد احتمال ~ t²
- در زمان بلند: رشد خطی ~ t
- گذار فقط در شرط انرژی (رزونانس) رخ میدهد
- دلتا تابع نشاندهنده انتخاب شدید انرژی است
۵. نتیجه نهایی
در رفتار درازمدت، سیستم فقط بین حالتهایی گذار میکند که شرط انرژی زیر را داشته باشند:
Em - En = ħω
و آهنگ گذار مستقل از زمان و فقط تابع شدت برهمکنش و چگالی حالات است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.