ریاضیات

تغییر زمانی هماهنگ پتانسیل

در بسیاری از مسائل مکانیک کوانتومی، پتانسیل وارد بر سیستم علاوه بر وابستگی مکانی،

به زمان نیز وابسته است. یکی از مهم‌ترین حالت‌ها، پتانسیلی است که به صورت

هماهنگ (هارمونیک) با زمان تغییر می‌کند. چنین پتانسیلی معمولاً به شکل زیر نوشته می‌شود:

V(r,t)=V(r)e^-iωt

یا به صورت حقیقی:

V(r,t)=V(r)cos(ωt)

که در آن:

• V(r) بخش مکانی پتانسیل است.
• ω فرکانس زاویه‌ای نوسان است.
• t زمان است.

هامیلتونی وابسته به زمان

در حضور چنین اختلالی، هامیلتونی سیستم به صورت زیر نوشته می‌شود:

H(t)=H₀+V(r,t)

که در آن H₀ هامیلتونی مستقل از زمان و

V(r,t) اختلال وابسته به زمان است.

گذار بین ترازهای انرژی

پتانسیل نوسانی می‌تواند باعث انتقال سیستم از یک حالت کوانتومی به حالت دیگر شود.

اگر سیستم ابتدا در حالت n باشد، احتمال گذار به حالت m به اختلاف انرژی دو تراز بستگی دارد.

ℏω ≈ E_m-E_n

این رابطه به عنوان شرط تشدید شناخته می‌شود. هنگامی که فرکانس اختلال

با اختلاف انرژی دو تراز متناسب باشد، احتمال گذار به شدت افزایش می‌یابد.

تفسیر فیزیکی

اگر یک اتم در معرض میدان الکترومغناطیسی نوسانی قرار گیرد، میدان به صورت یک

پتانسیل وابسته به زمان عمل می‌کند. در این حالت اتم می‌تواند انرژی جذب یا گسیل کند

و بین ترازهای مختلف انرژی جابه‌جا شود.

کاربردها

• جذب و گسیل تابش توسط اتم‌ها
• طیف‌سنجی اتمی و مولکولی
• تشدید مغناطیسی هسته‌ای (NMR)
• رزونانس اسپینی الکترون (ESR)
• لیزرها و اپتیک کوانتومی
• نظریه اختلال وابسته به زمان

جمع‌بندی

تغییر زمانی هماهنگ پتانسیل یکی از مهم‌ترین انواع اختلال‌های وابسته به زمان در

مکانیک کوانتومی است. این اختلال با فرکانس مشخصی نوسان می‌کند و در صورت برقراری

شرط تشدید، می‌تواند باعث گذار مؤثر بین ترازهای انرژی سیستم شود. بسیاری از

پدیده‌های برهم‌کنش نور و ماده بر پایه این مفهوم توضیح داده می‌شوند.