ریاضیات

مثال: اختلال با تغییر زمانی هماهنگ پتانسیل

در بسیاری از مسائل مکانیک کوانتومی، اختلال به صورت نوسانی در زمان تغییر می‌کند. این حالت زمانی رخ می‌دهد که یک میدان الکترومغناطیسی نوسانی به سیستم اعمال شود.

گام ۱: هامیلتونی سیستم

H(t) = H₀ + V(t)

که در آن:

H₀

هامیلتونی بدون اختلال است.

گام ۲: پتانسیل وابسته به زمان

فرض می‌کنیم پتانسیل به صورت نوسانی تغییر کند:

V(t) = V₀ cos(ωt)

که ω فرکانس اختلال است.

گام ۳: حالت‌های ویژه هامیلتونی

H₀ |n> = E_n |n>

گام ۴: بسط تابع موج

|ψ(t)> = Σ c_n(t) e^−iE_nt/ħ |n>

گام ۵: دامنه گذار مرتبه اول

c_f⁽¹⁾(t) =

(1 / iħ)

∫ V_fi(t')

e^iω_fit' dt'

گام ۶: عنصر ماتریسی اختلال

V_fi(t) =

<f|V(t)|i>

V_fi(t) =

V_fi cos(ωt)

گام ۷: تبدیل کسینوس به نمایی

cos(ωt) =

( e^iωt + e^−iωt ) / 2

گام ۸: قرار دادن در انتگرال

c_f⁽¹⁾(t) =

(V_fi / 2iħ)

∫ [ e^{i(ω_fi+ω)t'}

+

e^{i(ω_fi−ω)t'} ] dt'

گام ۹: شرط تشدید

وقتی فرکانس اختلال نزدیک به فرکانس گذار باشد:

ω ≈ ω_fi

احتمال گذار بیشینه می‌شود.

گام ۱۰: احتمال گذار

P(i → f) =

(|V_fi|² / ħ²)

sin²((ω_fi − ω)t / 2)

/

(ω_fi − ω)²

تفسیر فیزیکی

اگر فرکانس اختلال با اختلاف انرژی دو حالت برابر شود، سیستم می‌تواند انرژی جذب کرده و از حالت اولیه به حالت نهایی منتقل شود. این اصل اساس بسیاری از پدیده‌ها مانند جذب نور در اتم‌ها و طیف‌سنجی است.