ریاضیات

مثال: ذره در چاه پتانسیل نامتناهی با میدان الکتریکی نوسانی

یک ذره با جرم m در یک چاه پتانسیل نامتناهی با طول L قرار دارد. میدان الکتریکی وابسته به زمان باعث ایجاد اختلال در سیستم می‌شود.

گام ۱: پتانسیل چاه

V(x) = 0 0 < x < L

V(x) = ∞ خارج از چاه

گام ۲: توابع موج حالت‌های پایه

ψn(x) =

√(2/L) sin(nπx / L)

گام ۳: انرژی حالت‌ها

En =

(n^2 π^2 ħ^2) / (2mL^2)

گام ۴: حالت اولیه

فرض می‌کنیم ذره در ابتدا در حالت پایه باشد:

|i> = |1>

و حالت نهایی:

|f> = |2>

گام ۵: میدان الکتریکی نوسانی

E(t) = E0 cos(ωt)

اختلال سیستم:

V(t) = − qE0 x cos(ωt)

گام ۶: عنصر ماتریسی اختلال

V21(t) = <2|V(t)|1>

V21(t) =

− qE0 cos(ωt) <2|x|1>

گام ۷: محاسبه عنصر ماتریسی

<2|x|1> =

∫ ψ2(x) x ψ1(x) dx

نتیجه انتگرال:

<2|x|1> =

16L / (9π^2)

گام ۸: اختلاف انرژی

ΔE = E2 − E1

ΔE =

(3π^2 ħ^2) / (2mL^2)

گام ۹: فرکانس گذار

ω21 = ΔE / ħ

گام ۱۰: دامنه گذار

c2(t) =

(1 / iħ) ∫ V21(t') e^(iω21t') dt'

گام ۱۱: احتمال گذار

P1→2(t) =

|c2(t)|^2

این احتمال بیشینه می‌شود وقتی:

ω ≈ ω21

تفسیر فیزیکی

اگر فرکانس میدان الکتریکی با اختلاف انرژی بین دو حالت برابر شود، ذره می‌تواند از حالت پایه به حالت برانگیخته منتقل شود. این پدیده نمونه‌ای از جذب کوانتومی انرژی است.