ریاضیات

مثال کامل نظریه اختلال وابسته به زمان (۱۲ گام)

در این مثال انتقال یک الکترون در اتم هیدروژن از حالت پایه به حالت برانگیخته تحت اثر میدان الکتریکی نوسانی بررسی می‌شود.

گام ۱: تعریف سیستم

دو حالت کوانتومی در نظر می‌گیریم:

|1> = |1s>

|2> = |2p_z>

گام ۲: انرژی حالت‌ها

E₁ = -13.6 eV

E₂ = -3.4 eV

گام ۳: اختلاف انرژی

ΔE = E₂ − E₁

ΔE = 10.2 eV

گام ۴: فرکانس گذار

با استفاده از رابطه زیر:

ω₂₁ = ΔE / ħ

ħ = 6.582 × 10^-16 eV.s

ω₂₁ ≈ 1.55 × 10¹⁶ rad/s

گام ۵: هامیلتونی بدون اختلال

H₀ =

[ E₁    0 ]

[ 0    E₂ ]

گام ۶: اعمال اختلال زمانی

یک میدان الکتریکی نوسانی در راستای z اعمال می‌شود:

E(t) = E₀ cos(ωt)

اختلال سیستم:

V(t) = − eE₀ z cos(ωt)

گام ۷: عنصر ماتریسی اختلال

V₂₁(t) = <2|V(t)|1>

V₂₁(t) = − eE₀ cos(ωt) <2p_z|z|1s>

فرض می‌کنیم مقدار عددی این عنصر حدود:

V₀ ≈ 0.01 eV

گام ۸: شرایط اولیه

c₁(0) = 1

c₂(0) = 0

گام ۹: دامنه گذار مرتبه اول

c₂(t) =

(1 / iħ) ∫ V₂₁(t') e^iω₂₁t' dt'

گام ۱۰: تقریب موج چرخان

اگر فرکانس میدان نزدیک فرکانس گذار باشد:

ω ≈ ω₂₁

دامنه گذار ساده می‌شود:

c₂(t) ≈

(V₀ / 2ħ)

[(e^{i(ω₂₁ − ω)t} − 1) / (ω₂₁ − ω)]

گام ۱۱: احتمال گذار

P_1→2(t) = |c₂(t)|²

P_1→2(t) =

(V₀² / 4ħ²)

[ sin²((ω₂₁ − ω)t / 2) /

(ω₂₁ − ω)² ]

گام ۱۲: تفسیر فیزیکی

وقتی فرکانس میدان الکتریکی نزدیک اختلاف انرژی دو تراز باشد، سیستم وارد حالت تشدید می‌شود و احتمال انتقال الکترون به حالت برانگیخته افزایش پیدا می‌کند.

این پدیده اساس بسیاری از فرآیندهای فیزیکی مانند جذب نور در اتم‌ها و طیف‌سنجی اتمی است.