ریاضیات

گام ۵: شرایط اولیه سیستم

فرض می‌کنیم در زمان t = 0 سیستم قطعاً در حالت پایه قرار دارد.

c₁(0) = 1

c₂(0) = 0

بنابراین احتمال حضور در حالت دوم در ابتدا صفر است.

گام ۶: فرمول دامنه گذار مرتبه اول

در نظریه اختلال وابسته به زمان، دامنه گذار مرتبه اول از حالت 1 به حالت 2 برابر است با:

c₂(t) =

(1 / iħ) ∫ V₂₁(t') e^iω₂₁t' dt'

که در آن:

• ħ = 6.582 × 10^-16 eV.s
• ω₂₁ = 1.55 × 10¹⁶ rad/s
• V₂₁(t) = 0.01 cos(ωt) eV

بنابراین:

c₂(t) =

(0.01 / iħ) ∫ cos(ωt') e^iω₂₁t' dt'

گام ۷: تقریب نزدیک تشدید

اگر فرکانس میدان به فرکانس گذار نزدیک باشد:

ω ≈ ω₂₁

با استفاده از تقریب موج چرخان (Rotating Wave Approximation) دامنه گذار ساده می‌شود:

c₂(t) ≈

-(V₀ / 2ħ)

[(e^{i(ω₂₁ − ω)t} − 1) / (ω₂₁ − ω)]

گام ۸: احتمال گذار

احتمال انتقال از حالت 1 به حالت 2 برابر است با مربع قدر مطلق دامنه:

P_1→2(t) = |c₂(t)|²

که در نزدیکی تشدید به شکل زیر در می‌آید:

P_1→2(t) =

(V₀² / 4ħ²)

[ sin²((ω₂₁ − ω)t / 2) /

(ω₂₁ − ω)² ]

در حالت تشدید کامل:

ω = ω₂₁

احتمال گذار به صورت ساده در می‌آید:

P_1→2(t) ≈

(V₀² / 4ħ²) t²

تفسیر فیزیکی

اگر فرکانس میدان الکتریکی نزدیک اختلاف انرژی دو تراز باشد، احتمال انتقال الکترون از حالت پایه به حالت برانگیخته افزایش می‌یابد. در حالت تشدید، این احتمال با توان دوم زمان رشد می‌کند.