ریاضیات

مثال جامع ۱۰ مرحله‌ای: اختلال نوسانی (تک‌فام) و گذار اتمی

در این بخش، اثر یک میدان نوسانی (مانند یک موج الکترومغناطیسی با فرکانس مشخص) را بر یک سیستم دو‌ترازی بررسی می‌کنیم تا احتمال گذار ناشی از جذب انرژی را محاسبه کنیم.

گام ۱: تعریف هامیلتونی کل

سیستم تحت تأثیر یک پتانسیل نوسانی قرار دارد که در زمان t=0 روشن می‌شود:

H(t) = H₀ + V(t)

گام ۲: مشخصات حالت‌های پایه (بدون اختلال)

فرض می‌کنیم ترازهای انرژی H₀ معلوم هستند:

H₀ |i〉 = Eᵢ |i〉 ,   H₀ |f〉 = E_f |f〉

فرکانس گذار طبیعی سیستم: ω_fi = (E_f - Eᵢ) / ħ

گام ۳: شکل اختلال نوسانی

اختلال را به صورت یک موج سینوسی با فرکانس ω در نظر می‌گیریم:

V(t) = V₀ sin(ωt)

که در آن V₀ دامنه اختلال (ماتریس عملگر) است.

گام ۴: بسط وابسته به زمان تابع موج

حالت سیستم در هر لحظه ترکیبی از حالت‌های پایه است:

|ψ(t)〉 = Σ cₙ(t) e^−iEₙt/ħ |n〉

گام ۵: استخراج معادله دیفرانسیل ضرایب

با قرار دادن بسط در معادله شرودینگر، تغییرات زمانی ضریب حالت نهایی (c_f) به دست می‌آید:

iħ (dc_f / dt) = 〈f| V(t) |i〉 e^iω_fit

گام ۶: انتگرال‌گیری در تقریب مرتبه اول

برای یافتن دامنه گذار، از زمان ۰ تا t انتگرال می‌گیریم:

c_f⁽¹⁾(t) = (1/iħ) ∫₀ᵗ 〈f| V₀ sin(ωt') |i〉 e^iω_fit' dt'

گام ۷: ساده‌سازی عبارت سینوسی

با استفاده از رابطه فریبای اوایلر sin(ωt) = (e^iωt - e^-iωt)/2i:

c_f⁽¹⁾(t) = (V_fi / 2i·iħ) ∫₀ᵗ [e^{i(ω_fi+ω)t'} - e^{i(ω_fi-ω)t'}] dt'

گام ۸: محاسبه انتگرال زمانی

پس از انتگرال‌گیری و با فرض نزدیک بودن فرکانس پتانسیل به فرکانس گذار (ω ≈ ω_fi)، جمله غالب را نگه می‌داریم:

c_f⁽¹⁾(t) ≈ (V_fi / 2iħ) [ (e^i(ω_fi-ω)t - 1) / (ω_fi-ω) ]

گام ۹: محاسبه احتمال گذار P(t)

با مجذور کردن قدرمطلق دامنه گذار، احتمال پیدا کردن سیستم در حالت f به دست می‌آید:

P_i→f(t) = (|V_fi|² / ħ²) [ sin²((ω_fi-ω)t/2) / (ω_fi-ω)² ]

گام ۱۰: تحلیل فیزیکی و شرط تشدید

این فرمول که به تابع Sinc شهرت دارد، نشان می‌دهد:

• احتمال گذار در ω = ω_fi بیشینه است (پدیده تشدید).
• با گذشت زمان، قله تشدید تیزتر و بلندتر می‌شود.
• این گام مقدمه استخراج قاعده طلایی فرمی برای نرخ گذار در سیستم‌های پیوسته است.

نتیجه نهایی: در این مثال دیدیم که چگونه یک میدان نوسانی ضعیف می‌تواند باعث جابجایی ذره بین دو تراز انرژی شود، مشروط بر اینکه فرکانس میدان با اختلاف انرژی ترازها همخوانی داشته باشد.