ریاضیات

اختلال وابسته به زمان در سیستم دو الکترونی

در بسیاری از مسائل مکانیک کوانتومی، هامیلتونی سیستم علاوه بر مختصات مکانی،
به زمان نیز وابسته است. در این حالت هامیلتونی را به صورت زیر می‌نویسیم:

H(r,t)=H₀+H'(r,t)

که در آن H₀ هامیلتونیِ بدون اختلال و
H'(r,t) اختلال وابسته به مکان و زمان است.

در مسئله دو الکترون، تابع موج به مختصات هر دو ذره و همچنین زمان وابسته است.
معادله شرودینگر وابسته به زمان به صورت زیر نوشته می‌شود:

iħ ∂Ψ/∂t = HΨ

فرض می‌کنیم که جواب‌های مسئله بدون اختلال از رابطه زیر به دست آمده‌اند:

H₀|φ_n〉 = E_n|φ_n〉

که در آن |φ_n〉 حالت‌های ویژه و
E_n مقادیر ویژه انرژی هستند.

در ابتدا رهیافت مستقل از زمان را به کار می‌بریم تا پایه مناسبی از حالت‌های ویژه
هامیلتونی بدون اختلال به دست آوریم. سپس اثر اختلال وابسته به زمان را بررسی می‌کنیم.

اگر تابع موج را بر حسب حالت‌های ویژه هامیلتونی بدون اختلال بسط دهیم خواهیم داشت:

Ψ(t)=Σ c_n(t) φ_n
e^-iE_nt/ħ

اکنون با قرار دادن این بسط در معادله شرودینگر وابسته به زمان و استفاده از روابط قبلی،
معادلات مربوط به ضرایب زمانی c_n(t) به دست می‌آیند.

به عبارت دیگر، با جایگذاری رابطه (2) در رابطه (1) و استفاده از خواص حالت‌های ویژه،
می‌توان به معادلات اختلال وابسته به زمان رسید که اساس نظریه گذارهای کوانتومی را تشکیل می‌دهند.