توسط علی رضا نقش نیلچی
| سه شنبه نوزدهم خرداد ۱۴۰۵ | 2:55
دو مثال از تانسورهای فیزیکی
در اینجا دو مثال مهم از تانسورها را بررسی میکنیم:
- تانسور کرنش در مهندسی و مکانیک جامدات
- تانسور ممان لختی در مکانیک
۱) مثال اول: تانسور کرنش
صورت مسئله
فرض کنید تغییرمکان یک جسم در صفحه به صورت زیر داده شده است:
ux = αx
uy = βy
که در آن:
α = 0.02 β = -0.01
هدف ما محاسبهٔ تانسور کرنش است.
فرمول تانسور کرنش کوچک
εij = ½ ( ∂ui/∂xj + ∂uj/∂xi )
محاسبه مشتقها
∂ux/∂x = 0.02
∂ux/∂y = 0
∂uy/∂y = −0.01
∂uy/∂x = 0
محاسبه مؤلفههای کرنش
مولفه εxx
εxx = ½ (0.02 + 0.02) = 0.02
مولفه εyy
εyy = ½ (−0.01 −0.01) = −0.01
مولفه برشی εxy
εxy = ½ (0 + 0) = 0
ماتریس تانسور کرنش
ε =
| 0.02 0 |
| 0 −0.01 |
تفسیر فیزیکی
- در راستای x جسم حدود ۲٪ کشیده شده است.
- در راستای y جسم حدود ۱٪ فشرده شده است.
- هیچ کرنش برشی وجود ندارد.
۲) مثال دوم: تانسور ممان لختی
صورت مسئله
سه جرم نقطهای داریم:
- m1 = 2 kg در نقطه (1 , 0)
- m2 = 3 kg در نقطه (0 , 2)
- m3 = 1 kg در نقطه (−1 , 0)
میخواهیم تانسور ممان لختی را نسبت به مبدأ محاسبه کنیم.
فرمولها در دوبعد
Ixx = Σ m y²
Iyy = Σ m x²
Ixy = − Σ mxy
محاسبه مؤلفهها
محاسبه Ixx
Ixx = 2(0)² + 3(2)² + 1(0)² = 12
محاسبه Iyy
Iyy = 2(1)² + 3(0)² + 1(−1)² = 3
محاسبه Ixy
Ixy = −[2(1×0) + 3(0×2) + 1(−1×0)] = 0
ماتریس تانسور ممان لختی
I =
| 12 0 |
| 0 3 |
تفسیر فیزیکی
- چرخش حول محور x سختتر است زیرا جرمها در راستای y بیشتر پخش شدهاند.
- چرخش حول محور y آسانتر است.
- چون Ixy = 0، محورهای اصلی همان محورهای مختصات هستند.
جمعبندی
- تانسور کرنش برای توصیف تغییر شکل مواد استفاده میشود.
- تانسور ممان لختی مقاومت جسم در برابر چرخش را توصیف میکند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.