محاسبهٔ عبارت C³ 〈3| a†³ |0〉
میخواهیم عبارت زیر را محاسبه کنیم:
C³ <3| a†³ |0>
این عبارت بخشی از محاسبهٔ ماتریسالمنت
<3| x³ |0>
در نوسانگر هماهنگ کوانتومی است که در آن:
C = √( ħ / 2mω )
عملگر بالابرنده
عملگر a† عملگر بالابرنده (Creation Operator) است. این عملگر وقتی روی حالت
|n〉
اعمال شود، آن را به حالت بعدی میبرد:
a† |n〉 = √(n+1) |n+1〉
بنابراین عبارت
a†³
به معنی اعمال سهبارهٔ این عملگر است.
محاسبهٔ گامبهگام
ابتدا عملگر را مرحلهبهمرحله روی حالت پایه اعمال میکنیم.
گام اول
a† |0〉 = √(0+1) |1〉 = |1〉
گام دوم
a† |1〉 = √(1+1) |2〉 = √2 |2〉
گام سوم
a† ( √2 |2〉 ) = √2 ( a† |2〉 )
= √2 ( √(2+1) |3〉 )
= √2 √3 |3〉
= √6 |3〉
پس نتیجه میگیریم:
a†³ |0〉 = √6 |3〉
جایگذاری در عبارت اصلی
حال این نتیجه را در عبارت اولیه قرار میدهیم:
C³ <3| a†³ |0>
= C³ <3| ( √6 |3〉 )
از آنجا که حالتهای کوانتومی اورتونرمال هستند:
<m|n> = δmn
بنابراین:
<3|3> = 1
نتیجهٔ نهایی
C³ <3| a†³ |0> = C³ √6
در نتیجه مقدار این عبارت برابر است با:
C³ √6
این همان مقداری است که در محاسبهٔ ماتریسالمنت
<3|x³|0>
در نوسانگر هماهنگ کوانتومی ظاهر میشود.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.