ریاضیات

قواعد جمعی اسپین و کاربرد آن در ایزوسپین

۱) قواعد جمعی برای حالت اسپینی

وقتی دو ذره با اسپین s1 و s2 ترکیب شوند،
اسپین کل S می‌تواند مقادیر زیر را بگیرد:

S = |s1 - s2| , |s1 - s2| + 1 , ... , s1 + s2

تعداد حالت‌های هر مقدار S برابر است با:

2S + 1

مثال مهم: ترکیب دو ذره با اسپین 1/2

1/2 ⊗ 1/2 = 1 ⊕ 0

یعنی:

• حالت سه‌تایی (Triplet) با S = 1 — متقارن


• حالت تک‌تایی (Singlet) با S = 0 — پادمتقارن

حالت‌های سه‌تایی S = 1

|1,1> = |↑↑>

|1,0> = (1/√2)(|↑↓> + |↓↑>)

|1,-1> = |↓↓>

حالت تک‌تایی S = 0

|0,0> = (1/√2)(|↑↓> − |↓↑>)

۲) بکارگیری همین قواعد برای ایزوسپین

ایزوسپین مانند اسپین از تقارن SU(2) پیروی می‌کند،
بنابراین قواعد جمعی آن کاملاً مشابه اسپین است.

برای کوارک‌های بالا و پایین داریم:

I(u) = 1/2     I(d) = 1/2

پس:

1/2 ⊗ 1/2 = 1 ⊕ 0

یعنی دو کوارک می‌توانند در یکی از حالت‌های زیر قرار گیرند:

• ایزوسپین I = 1 — سه‌تایی (متقارن)


• ایزوسپین I = 0 — تک‌تایی (پادمتقارن)

حالت‌های ایزوسپینی سه‌تایی (I = 1)

|1,1> = uu

|1,0> = (1/√2)(ud + du)

|1,-1> = dd

حالت ایزوسپینی تک‌تایی (I = 0)

|0,0> = (1/√2)(ud − du)

۳) کاربرد در فیزیک هادرون‌ها

• پایون‌ها → I = 1


• نوکلئون‌ها → I = 1/2


• دلتاها → I = 3/2

در واکنش‌های قوی از جمع ایزوسپین اولیه و نهایی برای بررسی پایستگی ایزوسپین استفاده می‌شود.

نکته مهم: قواعد جمعی اسپین و ایزوسپین یکسان‌اند،
چون هر دو از تقارن SU(2) پیروی می‌کنند.