ریاضیات

سؤال امتحانی از فصل ۱۳ کتاب مکانیک کوانتومی گاسیوروویچ (ذرات یکسان)

صورت سؤال

دو ذره یکسان و غیر برهم‌کنش در یک چاه پتانسیل یک‌بعدی بی‌نهایت عمیق با طول L قرار دارند.

تابع‌های ویژه تک‌ذره‌ای چاه به صورت زیر هستند:

ψ_n(x) = √(2/L) sin(nπx/L)

الف) اگر ذرات بوزون باشند، تابع موج کل برای حالتی که یکی در حالت n=1 و دیگری در حالت n=2 است را بنویسید.

ب) اگر ذرات فرمیون باشند، تابع موج کل همان حالت را بنویسید.

ج) توضیح دهید چرا دو فرمیون نمی‌توانند هر دو در حالت n=1 قرار بگیرند.

حل گام به گام

گام ۱ : تابع موج دو ذره متمایز

اگر ذرات قابل تشخیص باشند، تابع موج سیستم برابر ضرب دو تابع تک‌ذره‌ای است:

Ψ(x₁,x₂) = ψ₁(x₁) ψ₂(x₂)

اما برای ذرات یکسان باید تقارن مناسب اعمال شود.

گام ۲ : حالت بوزونی (تقارن تابع موج)

بوزون‌ها دارای تابع موج متقارن هستند:

Ψ_B(x₁,x₂) =

(1/√2) [ ψ₁(x₁)ψ₂(x₂) +

ψ₁(x₂)ψ₂(x₁) ]

این تابع موج نسبت به جابجایی دو ذره تغییر نمی‌کند.

گام ۳ : حالت فرمیونی (پادمتقارن)

فرمیون‌ها دارای تابع موج پادمتقارن هستند:

Ψ_F(x₁,x₂) =

(1/√2) [ ψ₁(x₁)ψ₂(x₂) −

ψ₁(x₂)ψ₂(x₁) ]

با جابجایی دو ذره علامت تابع موج عوض می‌شود.

گام ۴ : بررسی حالت n=1 برای هر دو ذره

اگر هر دو فرمیون در حالت n=1 باشند، تابع موج فرمیونی می‌شود:

Ψ(x₁,x₂) =

(1/√2) [ ψ₁(x₁)ψ₁(x₂) −

ψ₁(x₂)ψ₁(x₁) ]

که برابر صفر می‌شود.

نتیجه فیزیکی

صفر شدن تابع موج نشان می‌دهد چنین حالتی وجود ندارد.

این همان اصل طرد پائولی است که بیان می‌کند دو فرمیون یکسان نمی‌توانند در یک حالت کوانتومی یکسان قرار بگیرند.