ریاضیات

دو سؤال امتحانی از درس مکانیک کوانتومی

سؤال ۱: الکترون در جعبه مستطیلی

یک الکترون در یک جعبه سه‌بعدی با دیواره‌های نفوذناپذیر و ابعاد

a , a , L محبوس است.

الف) با استفاده از معادله شرودینگر مستقل از زمان، مقادیر مجاز انرژی را به دست آورید.

معادله شرودینگر:

- ħ² / (2m) ∇²ψ = E ψ

ب) نشان دهید طیف انرژی الکترون در این جعبه به صورت زیر است:

E(n_x,n_y,n_z) =

(ħ² π² / 2m) × ( n_x²/a² + n_y²/a² + n_z²/L² )

که در آن:

n_x , n_y , n_z = 1 , 2 , 3 , ...

ج) اگر:

a = 1 nm

L = 1 μm

باشد، انرژی حالت پایه (n_x=n_y=n_z=1) را محاسبه کنید.

د) توضیح دهید چرا در این شرایط حرکت الکترون در راستای z تقریباً آزاد است و سیستم رفتاری شبیه گاز الکترونی دوبعدی پیدا می‌کند.

سؤال ۲: گاز فوتونی در جعبه

گازی از فوتون‌ها در یک جعبه مکعبی با حجم V و دمای T در تعادل گرمایی قرار دارد.

الف) با در نظر گرفتن دو حالت قطبش فوتون نشان دهید چگالی حالت‌ها برابر است با:

g(ω) dω = ( V / π² c³ ) ω² dω

ب) با استفاده از توزیع بوز–اینشتین نشان دهید انرژی کل سیستم برابر است با:

U = ∫ ( ħω / ( e^(βħω) − 1 ) ) g(ω) dω

ج) با محاسبه انتگرال نشان دهید:

U = ( π² / 15 ) × ( k_BT )⁴ / ( ħ³ c³ ) × V

د) نتیجه بگیرید چگالی انرژی تابش برابر است با:

u = U / V = a T⁴

که در آن:

a = π² k_B⁴ / ( 15 ħ³ c³ )

همچنین نشان دهید فشار گاز فوتونی برابر است با:

P = u / 3