ریاضیات

طیف انرژی الکترون در جعبه با ابعاد عددی

ابعاد جعبه:

• a = 1 nm = 10^-9 m
• l = 1 μm = 10^-6 m

طیف انرژی کلی الکترون:

E =

(ℏ² π² / 2m)

( n_x²/a²

+ n_y²/a²

+ n_z²/l² )

۱️⃣ محاسبه ضریب ثابت

برای الکترون داریم:

• ℏ = 1.055 × 10^-34 J·s
• m = 9.11 × 10^-31 kg

مقدار عددی:

ℏ²π² / 2m ≈ 6.02 × 10^-38 J·m²

۲️⃣ انرژی کوانتومی در راستای x و y

چون a = 10^-9 m:

E_x = 6.02 × 10^-38 / (10^-9)²

E_x ≈ 6.02 × 10^-20 J

تبدیل به الکترون‌ولت:

1 eV = 1.6 × 10^-19 J

E_x ≈ 0.376 eV

پس:

E_x,y ≈ 0.376 n² eV

۳️⃣ انرژی در راستای z

چون l = 10^-6 m:

E_z =

6.02 × 10^-38 / (10^-6)²

E_z ≈ 6.02 × 10^-26 J

E_z ≈ 3.76 × 10^-7 eV

۴️⃣ نتیجه نهایی طیف انرژی

E ≈ 0.376 ( n_x² + n_y² )

+ 3.76 × 10^-7 n_z²   (eV)

✅ تفسیر فیزیکی مهم

• انرژی در راستای z حدود یک میلیون بار کوچک‌تر از راستای x و y است.
• سیستم عملاً یک چاه کوانتومی دوبعدی است.
• حرکت در راستای z تقریباً پیوسته به نظر می‌رسد.
• تراز پایه (1,1,1):

E₀ ≈ 0.752 eV

زیرا سهم z ناچیز است.