متقارنسازی حالتهای سه ذرهای
در سیستمهای شامل سه ذره یکسان، تابع موج باید نسبت به تمام جایگشتهای ممکن ذرات دارای تقارن مشخصی باشد.
برای بوزونها تابع موج کاملاً متقارن و برای فرمیونها کاملاً پادمتقارن است.
جایگشتهای سه ذره
برای سه ذره، تعداد جایگشتها برابر است با:
3! = 6
جایگشتها عبارتاند از:
(123), (213), (132), (321), (231), (312)
حالت اولیه
فرض کنید سه حالت تکذرهای داشته باشیم:
φa, φb, φc
تابع موج ساده:
Ψ = φa(1)φb(2)φc(3)
این تابع نه متقارن است و نه پادمتقارن.
متقارنسازی کامل (بوزونی)
تابع موج متقارن از جمع تمام جایگشتها ساخته میشود:
ΨS =
(1/√6)
[
φa(1)φb(2)φc(3)
+
φa(1)φc(2)φb(3)
+
φb(1)φa(2)φc(3)
+
φb(1)φc(2)φa(3)
+
φc(1)φa(2)φb(3)
+
φc(1)φb(2)φa(3)
]
برای هر تبادل:
PijΨS=+ΨS
مثال ۱: سه فوتون
فوتونها بوزون هستند.
اگر سه فوتون در سه حالت مختلف قرار داشته باشند، تابع موج کل باید کاملاً متقارن باشد.
P12Ψ = P23Ψ = P13Ψ = Ψ
مثال ۲: سه اتم هلیوم-۴
هلیوم-۴ دارای اسپین کل صحیح است و رفتار بوزونی دارد.
بنابراین تابع موج سه اتم باید کاملاً متقارن باشد.
عملگر متقارنساز سه ذرهای
عملگر متقارنساز:
S =
(1/3!)
Σ P
که جمع روی تمام جایگشتهای ممکن انجام میشود.
برای سه ذره:
S =
(1/6)
[
1 + P12 + P13
+ P23
+ P123
+ P132
]
نمونه محاسبه
اگر:
Ψ = φ1(1)φ2(2)φ3(3)
آنگاه:
ΨS=SΨ
و شش جمله متقارن تولید میشود.
سه بوزون در یک حالت
اگر:
φa=φb=φc=φ
آنگاه:
ΨS ∝ φ(1)φ(2)φ(3)
هیچ محدودیتی برای تعداد بوزونهای موجود در یک حالت کوانتومی وجود ندارد.
چگالی احتمال
برای سه بوزون:
ρ = |ΨS|²
دارای جملههای تداخلی مثبت متعددی است.
این موضوع احتمال تجمع بوزونها در یک ناحیه فضایی را افزایش میدهد.
تقارن آمیخته
در سیستم سه ذرهای، علاوه بر حالت کاملاً متقارن و کاملاً پادمتقارن، حالتهای تقارن آمیخته نیز وجود دارند.
این حالتها نه تحت همه تبادلها متقارناند و نه پادمتقارن.
در فیزیک هستهای و مدل کوارکی اهمیت زیادی دارند.
کاربردهای متقارنسازی سه ذرهای
- میعان بوز-اینشتین
- اپتیک کوانتومی
- فیزیک فوتونها
- نظریه فونونها
- ابرشارگی
- نظریه میدان کوانتومی
- بررسی خوشههای اتمی
- فیزیک هستهای
- فیزیک ذرات بنیادی
- محاسبات چندذرهای بوزونی
نتیجهگیری
متقارنسازی سه ذرهای از جمع تمام ۶ جایگشت ممکن ساخته میشود. این اصل اساس توصیف بوزونها در سیستمهای چندذرهای است و نقش مهمی در پدیدههایی مانند میعان بوز-اینشتین، لیزر و ابرشارگی ایفا میکند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.