ریاضیات

مثال دیگر: فروپاشی گرانشی و فشار تبهگنی در یک ستاره فشرده

در این مثال بررسی می‌کنیم که چگونه یک ستاره در حال انقباض، تحت اثر گرانش فشرده می‌شود و در نهایت فشار تبهگنی از فروپاشی آن جلوگیری می‌کند.

داده‌های مسئله

• تعداد نوکلئون‌ها: N = 10⁵⁸
• جرم هر نوکلئون: m_n = 1.67 × 10^-27 kg
• حجم اولیه ستاره: V = 10²⁰ m³
• ثابت‌ها: G = 6.67 × 10^-11, ħ = 1.055 × 10^-34

1) جرم ستاره

M = N m_n

M = 10⁵⁸ × 1.67 × 10^-27 = 1.67 × 10³¹ kg

2) چگالی ستاره

ρ = N m_n / V

ρ = 1.67 × 10³¹ / 10²⁰ = 1.67 × 10¹¹ kg/m³

3) انرژی پتانسیل گرانشی

برای یک کره یکنواخت:

U = - (3GM²) / 5R

با حذف شعاع:

U = - (3G/5)(4π/3)^1/3 N² m_n² V^-1/3

U ≈ - 5 × 10⁴² J

4) فشار گرانشی

P_g =

(3G/5)(4π/3)^1/3 N² m_n² V^-4/3

P_g ≈ 3 × 10²⁴ Pa

5) فشار تبهگنی الکترونی

P_deg =

( (3π²)^2/3 ħ² / (5m_e) )

(N/V)^5/3

P_deg ≈ 3 × 10²⁴ Pa

6) تحلیل فیزیکی

در این حالت مشاهده می‌شود که:

P_g ≈ P_deg

بنابراین ستاره در مرز فروپاشی قرار دارد، اما به دلیل فشار تبهگنی پایدار می‌ماند.

• اگر P_g > P_deg → فروپاشی ادامه دارد
• اگر P_g = P_deg → تعادل پایدار
• اگر P_deg غالب شود → توقف انقباض

جمع‌بندی

• انرژی پتانسیل گرانشی → شدت بستگی ستاره
• فشار گرانشی → عامل فروپاشی
• فشار تبهگنی → عامل پایداری کوانتومی