ریاضیات

مثال ترکیبی: فشار گرانشی، پتانسیل گرانشی و فشار تبهگنی

در این مثال یک ستاره فشرده (مانند کوتوله سفید) را در نظر می‌گیریم و سه کمیت مهم را همزمان بررسی می‌کنیم:
فشار گرانشی، انرژی پتانسیل گرانشی و فشار تبهگنی.

داده‌های مسئله

• تعداد نوکلئون‌ها: N = 10⁵⁷


• جرم هر نوکلئون: m_n = 1.67 × 10^-27 kg


• حجم ستاره: V = 10¹⁸ m³


• ثابت‌ها: G = 6.67 × 10^-11, ħ = 1.055 × 10^-34

1) جرم ستاره

M = N m_n

M = 10⁵⁷ × 1.67 × 10^-27 = 1.67 × 10³⁰ kg

2) چگالی

ρ = N m_n / V

ρ = 1.67 × 10³⁰ / 10¹⁸ = 1.67 × 10¹² kg/m³

3) انرژی پتانسیل گرانشی

برای کره یکنواخت:

U = - 3GM² / 5R

با حذف شعاع:

U = - (3G/5)(4π/3)^1/3 N² m_n² V^-1/3

U ≈ - 2 × 10⁴² J

4) فشار گرانشی

P_g = (3G/5)(4π/3)^1/3 N² m_n² V^-4/3

P_g ≈ 10²³ Pa

5) فشار تبهگنی

P_deg =
( (3π²)^2/3 ħ² / (5m_e) )
(N/V)^5/3

P_deg ≈ 10²³ Pa

6) نتیجه فیزیکی مهم

در این حالت مشاهده می‌شود:

P_g ≈ P_deg

یعنی ستاره در تعادل است.

• فشار گرانشی → فروپاشی ستاره


• فشار تبهگنی → مقاومت کوانتومی


• انرژی پتانسیل گرانشی → میزان بستگی ستاره

جمع‌بندی

• U ~ انرژی بستگی گرانشی ستاره


• P_g ~ فشار فروپاشی


• P_deg ~ فشار کوانتومی پایدارکننده


• تعادل این دو، ساختار ستاره‌های فشرده را تعیین می‌کند