ریاضیات

مثال کاربردی از فشار تبهگنی

در این مثال می‌خواهیم فشار تبهگنی الکترونی را در یک گاز بسیار چگال (مانند ماده داخل کوتوله سفید) محاسبه کنیم.

داده‌های مسئله

فرض کنید داریم:

• چگالی عددی الکترون‌ها: n = 1036 m-3
• جرم الکترون: m = 9.11 × 10-31 kg
• ثابت پلانک کاهش‌یافته: ħ = 1.055 × 10-34 J·s

فرمول فشار تبهگنی غیرنسبیتی

P = ( (3π²)2/3 ħ² / (5m) ) n^5/3

گام 1: محاسبه توان چگالی

n^5/3 = (1036)^5/3 = 1060

گام 2: ضریب ثابت

ضریب عددی:

(3π²)2/3 ≈ 9.57

ħ² / (5m) ≈ 2.43 × 10^-38

پس کل ضریب:

≈ 2.33 × 10^-37

گام 3: محاسبه فشار

P ≈ 2.33 × 10^-37 × 1060

P ≈ 2.33 × 1023 Pa

نتیجه

فشار به دست آمده بسیار بزرگ است (حدود 1023 پاسکال)، که نشان می‌دهد ماده در چنین چگالی‌هایی دیگر مانند گاز معمولی رفتار نمی‌کند و تحت کنترل اصل طرد پائولی قرار دارد.

تفسیر فیزیکی

• این فشار همان چیزی است که از فروپاشی ستاره جلوگیری می‌کند.
• در کوتوله‌های سفید، این فشار با فشار گرانشی در تعادل است.
• این پدیده مستقل از دما است.