ریاضیات

رابطه بین چگالی، شعاع ستاره، تعداد هسته‌ها و فشارهای گرانشی و تبهگنی

در این بخش یک مدل ساده از ستاره را در نظر می‌گیریم که از N هسته (نوکلئون) با جرم هر هسته m_n تشکیل شده است.

هدف، به‌دست آوردن روابط بین چگالی ρ، شعاع R، حجم V، انرژی پتانسیل گرانشی و فشار گرانشی و فشار تبهگنی است.

1) جرم ستاره بر حسب تعداد هسته‌ها

اگر ستاره از N هسته تشکیل شده باشد، جرم کل برابر است با:

M = N m_n

2) رابطه چگالی و شعاع

چگالی به صورت زیر تعریف می‌شود:

ρ = M / V

برای ستاره کروی:

V = (4πR³)/3

پس:

ρ = (N m_n) / ((4πR³)/3)

در نتیجه:

ρ = (3N m_n) / (4πR³)

3) انرژی پتانسیل گرانشی ستاره

برای یک کره یکنواخت داریم:

U = - 3GM² / 5R

با جایگذاری M = N m_n:

U = - 3G (N m_n)² / 5R

یا:

U = - (3G N² m_n²) / (5R)

4) انرژی بر حسب حجم

با استفاده از رابطه حجم:

V = (4πR³)/3

شعاع:

R = (3V/4π)^1/3

بنابراین انرژی پتانسیل:

U = - (3G N² m_n²/5) (4π/3V)^1/3

یا:

U ∝ - N² m_n² V^-1/3

5) فشار گرانشی

فشار گرانشی را می‌توان از انرژی گرانشی به دست آورد:

P_g ≈ |U| / V

پس:

P_g ≈ (3G N² m_n²) / (5R V)

و با جایگذاری V:

P_g ∝ G N² m_n² / R⁴

6) فشار تبهگنی (مدل الکترونی)

اگر ستاره از N الکترون/فرمیون تشکیل شده باشد، فشار تبهگنی در حد غیرنسبیتی:

P_deg ∝ n^5/3

که در آن چگالی عددی:

n = N / V

پس:

P_deg ∝ (N / V)^5/3

یا:

P_deg ∝ N^5/3 V^-5/3

7) شرط تعادل ستاره‌ای

در حالت تعادل هیدرواستاتیکی:

P_g = P_deg

پس:

G N² m_n² / R⁴ ∼ N^5/3 V^-5/3

این رابطه نشان می‌دهد که با افزایش چگالی (کاهش حجم)، فشار تبهگنی رشد سریع‌تری نسبت به فشار گرانشی دارد و از فروپاشی ستاره جلوگیری می‌کند.

جمع‌بندی

• M = N m_n
• ρ = (3N m_n) / (4πR³)
• U = - 3GM² / 5R
• P_g ∝ G N² m_n² / R⁴
• P_deg ∝ (N/V)^5/3