مثالهای بیشتر از قضیه فاینمن-هلمن
قضیه فاینمن-هلمن ابزاری قدرتمند برای محاسبه کمیتهای میانگین است. در ادامه چند مثال مهم آورده شده است.
مثال ۱: نوسانگر هماهنگ و انرژی پتانسیل متوسط
همیلتونی:
H = p²/(2m) + (1/2)mω²x²
پارامتر را ω انتخاب میکنیم:
λ = ω
بنابراین:
∂H/∂ω = mωx²
انرژیهای سیستم:
En=(n+1/2)ħω
پس:
dEn/dω=(n+1/2)ħ
طبق قضیه فاینمن-هلمن:
mω〈x²〉=(n+1/2)ħ
در نتیجه:
〈x²〉=
[(n+1/2)ħ]/(mω)
مثال ۲: اتم هیدروژن و مقدار متوسط
1/r
انرژی هیدروژن:
En=
-
me⁴/
[2(4πε₀)²ħ²n²]
پارامتر را λ=e² انتخاب میکنیم.
طبق قضیه:
dE/d(e²)
=
-
〈1/(4πε₀r)〉
بنابراین مقدار متوسط
1/r
مستقیماً از مشتق انرژی به دست میآید.
مثال ۳: چاه پتانسیل بینهایت
انرژیهای مجاز:
En
=
n²π²ħ²/(2mL²)
پارامتر را طول جعبه انتخاب میکنیم:
λ = L
مشتق انرژی:
dEn/dL
=
-
n²π²ħ²/(mL³)
این مشتق نیروی وارد بر دیوارههای جعبه را مشخص میکند:
F = - dE/dL
مثال ۴: نوسانگر سهبعدی
همیلتونی:
H=
p²/(2m)
+
(1/2)mω²r²
انرژی:
E=
(N+3/2)ħω
طبق قضیه:
mω〈r²〉
=
(N+3/2)ħ
در نتیجه:
〈r²〉
=
(N+3/2)ħ/(mω)
مثال ۵: اتم هلیوم در روش وردشی
تابع موج آزمایشی:
ψ =
exp[-λ(r₁+r₂)]
انرژی تابعی از λ است:
E = E(λ)
برای یافتن بهترین λ:
dE/dλ = 0
قضیه فاینمن-هلمن اجازه میدهد مشتق انرژی از طریق امیدریاضی مشتق همیلتونی محاسبه شود.
مثال ۶: اثر استارک
در حضور میدان الکتریکی:
H = H₀ + eEz
پارامتر:
λ = E
در نتیجه:
dE/dE = e〈z〉
بنابراین گشتاور دوقطبی الکتریکی مستقیماً از مشتق انرژی نسبت به میدان به دست میآید.
نکته مهم
در همه این مثالها، بدون محاسبه مستقیم انتگرالهای پیچیده تابع موج، میتوان کمیتهای فیزیکی مهم را از مشتق انرژی نسبت به یک پارامتر مناسب به دست آورد.
dE/dλ = 〈ψ|∂H/∂λ|ψ〉
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.