ریاضیات

قضیه فاینمن-هلمن (Feynman-Hellmann Theorem)

قضیه فاینمن-هلمن یکی از قضایای مهم مکانیک کوانتومی است که رابطه‌ای مستقیم بین تغییرات انرژی و تغییرات پارامتری در همیلتونی برقرار می‌کند.
این قضیه در محاسبات اتمی، مولکولی، نظریه اختلال و روش‌های وردشی کاربرد فراوان دارد.

بیان قضیه

فرض کنید همیلتونی به یک پارامتر λ وابسته باشد:

H = H(λ)

و معادله شرودینگر مستقل از زمان به صورت زیر باشد:

H(λ)ψ(λ) = E(λ)ψ(λ)

در این صورت قضیه فاینمن-هلمن بیان می‌کند:

dE/dλ = 〈ψ| ∂H/∂λ |ψ〉

به شرط آنکه تابع موج نرمال باشد:

〈ψ|ψ〉 = 1

تفسیر فیزیکی

این رابطه می‌گوید نرخ تغییر انرژی نسبت به یک پارامتر خارجی، برابر امیدریاضی مشتق همیلتونی نسبت به همان پارامتر است.

بنابراین برای محاسبه تغییرات انرژی لازم نیست مشتق تابع موج را محاسبه کنیم.

اثبات مختصر

از معادله شرودینگر شروع می‌کنیم:

Hψ = Eψ

نسبت به λ مشتق می‌گیریم:

(∂H/∂λ)ψ + H(∂ψ/∂λ)
=
(dE/dλ)ψ + E(∂ψ/∂λ)

ضرب داخلی در ψ:

〈ψ|(∂H/∂λ)|ψ〉
+
〈ψ|H|(∂ψ/∂λ)〉
=
dE/dλ
+
E〈ψ|(∂ψ/∂λ)〉

با استفاده از هرمیتی بودن H:

〈ψ|H = E〈ψ|

جملات وابسته به مشتق تابع موج حذف می‌شوند و نتیجه می‌گیریم:

dE/dλ = 〈ψ|(∂H/∂λ)|ψ〉

مثال ۱: اتم هیدروژن

همیلتونی هیدروژن:

H =
−(ħ²/2m)∇²
−
(e²/4πε₀r)

اگر بار الکترون را پارامتر λ در نظر بگیریم:

λ = e²

آنگاه:

∂H/∂λ
=
−1/(4πε₀r)

طبق قضیه:

dE/dλ
=
− 〈1/(4πε₀r)〉

بنابراین تغییرات انرژی مستقیماً به مقدار متوسط 1/r وابسته است.

مثال ۲: روش وردشی هلیوم

در روش وردشی برای اتم هلیوم، معمولاً پارامتر مؤثر هسته‌ای را با λ نشان می‌دهند:

ψ = exp[-λ(r₁+r₂)]

انرژی به λ وابسته می‌شود:

E = E(λ)

برای یافتن کمینه انرژی:

dE/dλ = 0

قضیه فاینمن-هلمن محاسبه مشتق انرژی را بسیار ساده می‌کند.

کاربردها

• محاسبه نیروهای بین اتمی


• روش وردشی ریتز


• نظریه اختلال


• فیزیک مولکولی


• محاسبات شیمی کوانتومی


• بررسی تغییرات انرژی نسبت به پارامترهای سیستم

نکات مهم

• همیلتونی باید به پارامتر λ وابسته باشد.


• تابع موج باید نرمال شده باشد.


• نیازی به مشتق‌گیری از تابع موج نیست.


• این قضیه یکی از ابزارهای اصلی محاسبات کوانتومی است.


• در روش‌های وردشی برای تعیین نقطه کمینه انرژی بسیار مفید است.

نتیجه

قضیه فاینمن-هلمن پلی میان تغییرات انرژی و تغییرات همیلتونی ایجاد می‌کند:

dE/dλ = 〈ψ|∂H/∂λ|ψ〉

این رابطه یکی از زیباترین و پرکاربردترین نتایج مکانیک کوانتومی است و در بسیاری از مسائل اتمی و مولکولی مورد استفاده قرار می‌گیرد.