مثال سوم: کمینهسازی انرژی با روش ضرایب لاگرانژ
فرض کنید تابع موج آزمایشی از دو تابع پایه تشکیل شده باشد:
Ψ = c₁φ₁ + c₂φ₂
و ماتریس همیلتونی سیستم برابر باشد با:
H =
| 1 0.5 |
| 0.5 4 |
توابع پایه متعامد و نرمال هستند، بنابراین:
S = I
c₁² + c₂² = 1
گام اول: انرژی متوسط
انرژی مورد انتظار برابر است با:
E = c₁² + c₁c₂ + 4c₂²
گام دوم: تشکیل تابع لاگرانژ
F = c₁² + c₁c₂ + 4c₂²
− λ(c₁²+c₂²−1)
گام سوم: مشتقگیری نسبت به ضرایب
∂F/∂c₁ = 2c₁ + c₂ − 2λc₁ = 0
(1−λ)c₁ + 0.5c₂ = 0
∂F/∂c₂ = c₁ + 8c₂ − 2λc₂ = 0
0.5c₁ + (4−λ)c₂ = 0
گام چهارم: معادله سکولار
برای وجود جواب غیرصفر:
det(H−λI)=0
یعنی:
|(1−λ) 0.5|
|0.5 (4−λ)| = 0
گام پنجم: محاسبه دترمینان
(1−λ)(4−λ)−0.25 = 0
λ²−5λ+3.75 = 0
حل معادله:
λ = (5 ± √10)/2
گام ششم: ویژهمقدارها
E₁ = (5−√10)/2 ≈ 0.919
E₂ = (5+√10)/2 ≈ 4.081
کوچکترین مقدار ویژه:
E₀ ≈ 0.919
تقریب انرژی حالت پایه است.
گام هفتم: ویژهتابع متناظر
برای λ = 0.919:
(1−0.919)c₁ + 0.5c₂ = 0
0.081c₁ + 0.5c₂ = 0
c₂ = -0.162c₁
با نرمالسازی:
Ψ₀ ≈ 0.987φ₁ − 0.160φ₂
تفسیر فیزیکی
- ضریب لاگرانژ λ همان انرژی سیستم است.
- کوچکترین ویژهمقدار، انرژی حالت پایه را میدهد.
- بزرگترین ویژهمقدار مربوط به حالت برانگیخته است.
- بردار ویژه متناظر، ترکیب بهینه توابع پایه را مشخص میکند.
- اصل وردشی تضمین میکند که انرژی بهدستآمده از انرژی واقعی حالت پایه کمتر نخواهد بود.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.