مثال: پتانسیل وابسته به r/r₀ در معادله شرودینگر
در بسیاری از مسائل فیزیک اتمی و مولکولی، پتانسیل به صورت تابعی از نسبت
r/r₀ نوشته میشود. در اینجا r فاصله ذره از مرکز و r₀ یک طول مشخصه است.
پتانسیل نمایی
V(r)= -V₀ exp(-r/r₀)
که در آن:
- V₀ عمق چاه پتانسیل است.
- r₀ طول مشخصه پتانسیل است.
- r فاصله از مرکز نیرو است.
معادله شرودینگر شعاعی
برای حالت l = 0 داریم:
-(ħ²/2m) d²u/dr² + V(r)u = Eu
با جایگذاری پتانسیل:
-(ħ²/2m) d²u/dr² - V₀exp(-r/r₀)u = Eu
متغیر بدون بعد
برای ساده کردن محاسبات تعریف میکنیم:
ρ = r/r₀
در نتیجه پتانسیل به صورت:
V(ρ)= -V₀e-ρ
نوشته میشود.
ویژهتابع
جوابهای معادله شرودینگر:
u₁(r), u₂(r), u₃(r), ...
ویژهتابعهای سیستم هستند.
ویژهمقدار
انرژیهای متناظر:
E₁ , E₂ , E₃ , ...
ویژهمقدارهای انرژی نامیده میشوند.
حالت کمینه
کمترین ویژهمقدار انرژی:
E₀ = min(E)
انرژی حالت پایه یا حالت کمینه است.
نکته مهم
استفاده از متغیر بدون بعد ρ=r/r₀ باعث میشود معادله سادهتر شده و رفتار سیستم برای اندازههای مختلف r₀ راحتتر مقایسه شود.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.