ریاضیات

مثال: روش وردشی برای ذره در چاه پتانسیل بی‌نهایت

ذره‌ای در چاه پتانسیل یک‌بعدی به عرض L قرار دارد:

V(x)=0     0<x<L

V(x)=∞     خارج از چاه

فرض کنید یک میدان الکتریکی ضعیف اعمال شود به طوری که:

V'(x)=Fx

هدف، تخمین انرژی حالت پایه با روش وردشی است.

مرحله 1: انتخاب تابع موج آزمایشی

تابع موج زیر را انتخاب می‌کنیم:

ψ(x)=A x(L-x)e^-αx

که α پارامتر وردشی است.

مرحله 2: نرمال‌سازی

ثابت A از شرط نرمال‌سازی به دست می‌آید:

∫|ψ|²dx=1

مرحله 3: محاسبه انرژی جنبشی

انرژی جنبشی از رابطه زیر محاسبه می‌شود:

<T>=∫ψ*(-ħ²/2m)(d²ψ/dx²)dx

مرحله 4: محاسبه انرژی پتانسیل

انرژی پتانسیل:

<V>=∫ψ*Fxψdx

مرحله 5: تشکیل تابع انرژی

انرژی کل تابعی از α خواهد بود:

E(α)=<T>+<V>

مرحله 6: شرط وردشی

بهترین مقدار α از رابطه زیر به دست می‌آید:

dE/dα=0

مرحله 7: نتیجه فیزیکی

مقدار بهینه α شکل تابع موج را تغییر می‌دهد تا اثر میدان الکتریکی را در نظر بگیرد.

انرژی به دست آمده همیشه بزرگ‌تر یا مساوی انرژی واقعی حالت پایه خواهد بود.

نتیجه

روش وردشی امکان محاسبه تقریبی انرژی حالت پایه را بدون حل مستقیم معادله شرودینگر فراهم می‌کند.