ریاضیات

تبهگنی تراز n=3 در یک اتم غیرهیدروژنی

در اتم هیدروژن، انرژی فقط به عدد کوانتومی اصلی n وابسته است، بنابراین

تمام زیرلایه‌های 3s ، 3p و 3d دارای انرژی یکسان هستند.

اما در اتم‌های چندالکترونی (غیرهیدروژنی)، به علت اثر پوششی و دافعه

الکترون‌ها، انرژی علاوه بر n به عدد کوانتومی سمتی l نیز وابسته است.

E = E(n,l)

بنابراین تبهگنی هیدروژنی از بین می‌رود.

مثال: اتم سدیم (Na)

عدد اتمی سدیم:

Z=11

در سدیم ترتیب انرژی زیرلایه‌های n=3 به صورت زیر است:

E(3s) < E(3p) < E(3d)

در نتیجه زیرلایه‌های 3s ، 3p و 3d دیگر هم‌انرژی نیستند.

تبهگنی زیرلایه 3s

برای:

l=0

فقط یک مقدار برای m_l وجود دارد:

m_l=0

پس درجه تبهگنی فضایی:

g=1

با احتساب اسپین:

g=2

تبهگنی زیرلایه 3p

برای:

l=1

داریم:

m_l=-1,0,+1

پس:

g=3

و با احتساب اسپین:

g=6

تبهگنی زیرلایه 3d

برای:

l=2

داریم:

m_l=-2,-1,0,+1,+2

پس:

g=5

و با احتساب اسپین:

g=10

جدول تبهگنی زیرلایه‌های n=3

مقایسه با هیدروژن

در هیدروژن:

3s = 3p = 3d

و همه 9 حالت فضایی تبهگن هستند.

اما در سدیم:

3s ≠ 3p ≠ 3d

بنابراین تبهگنی اصلی n=3 شکسته می‌شود و فقط تبهگنی مربوط به مقادیر

مختلف m_l در هر زیرلایه باقی می‌ماند.

نتیجه

در اتم‌های غیرهیدروژنی، تراز n=3 دیگر 9 حالت هم‌انرژی ندارد. در عوض:

• زیرلایه 3s دارای تبهگنی 1 است.
• زیرلایه 3p دارای تبهگنی 3 است.
• زیرلایه 3d دارای تبهگنی 5 است.

علت این شکسته شدن تبهگنی، اثر پوششی و برهم‌کنش بین الکترون‌ها است.