ریاضیات

محاسبه انرژی حالت پایه اتم بریلیم (Be) با روش وردشی

اتم بریلیم دارای 4 الکترون و عدد اتمی Z=4 است. به دلیل وجود برهم‌کنش
دافعه بین الکترون‌ها، حل دقیق معادله شرودینگر امکان‌پذیر نیست و از
روش وردشی ریتس استفاده می‌شود.

آرایش الکترونی

1s² 2s²

تابع موج آزمایشی

در تقریب ساده، الکترون‌ها در میدان یک بار مؤثر هسته حرکت می‌کنند:

Ψ=φ_1s(1)
φ_1s(2)
φ_2s(3)
φ_2s(4)

که در آن Z_eff پارامتر وردشی است.

انرژی تک‌الکترونی

برای اوربیتال‌های هیدروژن‌مانند:

E_n=-13.6
(Z_eff²/n²)

انرژی دو الکترون 1s

E_1s=2(-13.6Z_eff²)

E_1s=-27.2Z_eff²

انرژی دو الکترون 2s

E_2s=2(-13.6Z_eff²/4)

E_2s=-6.8Z_eff²

انرژی کل تقریبی

E=-34Z_eff²

سپس انرژی دافعه الکترون‌ها به صورت جمله‌های کولنی و تبادلی به انرژی
افزوده می‌شود:

E(Z_eff)
=
-34Z_eff²
+
J
-
K

که J انتگرال کولنی و K انتگرال تبادلی است.

شرط وردشی

dE/dZ_eff=0

با حل این رابطه مقدار بهینه Z_eff به دست می‌آید.

نتیجه

روش وردشی نشان می‌دهد که به دلیل پوششی شدن هسته توسط الکترون‌های داخلی،
بار مؤثر هسته از مقدار واقعی Z=4 کوچک‌تر است و انرژی حالت پایه به مقدار
تجربی نزدیک می‌شود.