ریاضیات

محاسبه انرژی حالت پایه نوسانگر هماهنگ سه‌بعدی با روش وردشی ریتس

پتانسیل نوسانگر هماهنگ سه‌بعدی:

V(r)=½ω²r²

که در آن:

r²=x²+y²+z²

هامیلتونی سیستم

H=-½∇²+½ω²r²

تابع موج آزمایشی

ψ(r)=Ae^-αr2/2

که در آن α پارامتر وردشی است.

انرژی جنبشی

<T>=3α/4

مقدار امیدی r²

<r²>=3/(2α)

انرژی پتانسیل

<V>=½ω²<r²>

<V>=½ω²(3/(2α))

<V>=3ω²/(4α)

انرژی کل

E(α)=<T>+<V>

E(α)=3α/4+3ω²/(4α)

E(α)=(3/4)(α+ω²/α)

شرط کمینه شدن انرژی

dE/dα=0

(3/4)(1-ω²/α²)=0

α²=ω²

α=ω

انرژی حالت پایه

مقدار α=ω را در رابطه انرژی قرار می‌دهیم:

E=(3/4)(ω+ω)

E=(3/2)ω

مثال

اگر:

ω=2

باشد، آنگاه:

E₀=(3/2)×2

E₀=3

نتیجه نهایی

E₀=(3/2)ω

این همان انرژی دقیق حالت پایه نوسانگر هماهنگ سه‌بعدی است و نشان می‌دهد

که روش وردشی با انتخاب تابع موج گاوسی، جواب دقیق را به دست می‌دهد.