ریاضیات

برای تنوع، یک مثال معروف دیگر از نوسانگر ناهماهنگ را با پتانسیل

V(x)=\frac{1}{2}x^2+\lambda x^4

بررسی می‌کنیم.

محاسبه انرژی حالت پایه نوسانگر ناهماهنگ با اصل وردشی ریتس

پتانسیل نوسانگر ناهماهنگ را به صورت زیر در نظر می‌گیریم:

V(x)=½x²+λx⁴

که λ یک ثابت مثبت است.

گام اول: انتخاب تابع موج آزمایشی

تابع موج گاوسی زیر را انتخاب می‌کنیم:

ψ(x)=e^-αx²/2

که α پارامتر وردشی است.

گام دوم: هامیلتونی

H=-½(d²/dx²)+½x²+λx⁴

گام سوم: مقادیر امیدی لازم

برای تابع موج گاوسی داریم:

<T> = α/4

<x²> = 1/(2α)

<x⁴> = 3/(4α²)

گام چهارم: انرژی وردشی

انرژی کل برابر است با:

E(α)

=

α/4

+

1/(4α)

+

3λ/(4α²)

مثال عددی

فرض کنید:

λ = 0.1

در این صورت:

E(α)

=

α/4

+

1/(4α)

+

0.075/α²

کمینه کردن انرژی

مشتق انرژی را صفر قرار می‌دهیم:

dE/dα

=

1/4

-

1/(4α²)

-

0.15/α³

=

0

حل عددی این معادله می‌دهد:

α ≈ 1.12

محاسبه انرژی حالت پایه

E(1.12)

=

1.12/4

+

1/(4×1.12)

+

0.075/(1.12)²

E ≈ 0.62

نتیجه

بنابراین انرژی حالت پایه نوسانگر ناهماهنگ با

λ=0.1

تقریباً برابر است با:

E₀ ≈ 0.62

سؤال

برای نوسانگر ناهماهنگ

V(x)=½x²+0.1x⁴

با تابع موج آزمایشی

ψ=e^-αx²/2

انرژی حالت پایه را با روش وردشی محاسبه کنید.

پاسخ

E(α)

=

α/4

+

1/(4α)

+

0.075/α²

با کمینه کردن انرژی:

α≈1.12

E₀≈0.62

رابطهٔ اصلی این مثال:

E(\alpha)=\frac{\alpha}{4}+\frac{1}{4\alpha}+\frac{3\lambda}{4\alpha^2}

که با کمینه کردن آن نسبت به ، انرژی تقریبی حالت پایه به دست می‌آید.