ریاضیات

تبادل (Exchange) در اتم هلیم

الکترون‌ها ذراتی از نوع فرمیون هستند و باید از اصل طرد پائولی پیروی کنند. بنابراین تابع موج کل دو الکترون در اتم هلیم باید نسبت به جابه‌جایی دو الکترون پادمتقارن باشد.

شرط پادمتقارن بودن

Ψ(1,2) = -Ψ(2,1)

که در آن:

• 1 نشان‌دهنده مختصات و اسپین الکترون اول است.
• 2 نشان‌دهنده مختصات و اسپین الکترون دوم است.

تابع موج فضایی متقارن

اگر دو الکترون در یک اوربیتال باشند، بخش فضایی تابع موج متقارن است:

Ψs(r₁,r₂) = [ψa(r₁)ψb(r₂)+ψa(r₂)ψb(r₁)]/√2

در این حالت بخش اسپینی باید پادمتقارن باشد.

تابع موج فضایی پادمتقارن

Ψa(r₁,r₂) = [ψa(r₁)ψb(r₂)-ψa(r₂)ψb(r₁)]/√2

در این حالت بخش اسپینی متقارن خواهد بود.

انتگرال کولنی

برهم‌کنش معمول الکترون‌ها توسط انتگرال کولنی توصیف می‌شود:

J = ∬ ψa²(r₁) [e²/(4πε₀r₁₂)] ψb²(r₂) dτ₁ dτ₂

این جمله دافعه الکترواستاتیکی بین دو الکترون را بیان می‌کند.

انتگرال تبادلی

به دلیل غیرقابل تشخیص بودن الکترون‌ها، جمله‌ای کاملاً کوانتومی به نام انتگرال تبادلی ظاهر می‌شود:

K = ∬ ψa(r₁)ψb(r₁) [e²/(4πε₀r₁₂)] ψa(r₂)ψb(r₂) dτ₁ dτ₂

این جمله هیچ معادل کلاسیکی ندارد و صرفاً از پادمتقارن بودن تابع موج ناشی می‌شود.

انرژی حالت‌های تبادلی

برای دو الکترون در دو اوربیتال مختلف:

E(sym) = Ea + Eb + J + K

E(anti) = Ea + Eb + J - K

اختلاف انرژی دو حالت برابر است با:

ΔE = 2K

تفسیر فیزیکی

• J انرژی دافعه مستقیم بین دو الکترون است.
• K انرژی تبادلی است.
• اثر تبادلی ناشی از اصل طرد پائولی است.
• تبادل موجب شکافتگی سطوح انرژی در اتم‌های چندالکترونی می‌شود.
• وجود K یکی از پایه‌های نظریه ساختار اتمی و پیوند شیمیایی است.

نتیجه

در اتم هلیم علاوه بر دافعه کولنی J، جمله‌ای کاملاً کوانتومی به نام انتگرال تبادلی K وجود دارد که از پادمتقارن بودن تابع موج الکترون‌ها ناشی می‌شود. این اثر یکی از مهم‌ترین تفاوت‌های اتم‌های چندالکترونی با اتم هیدروژن است.