ریاضیات

مثال‌های دیگر از تبادل دو الکترون

مثال ۱) دو الکترون در دو اوربیتال متفاوت

اگر یک الکترون در اوربیتال \( \phi_a \) و الکترون دیگر در اوربیتال \( \phi_b \) باشد،

تابع موج پادمتقارن به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$\Psi(1,2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\phi_a(1)\phi_b(2)-\phi_a(2)\phi_b(1)\right]$$

با جابجایی دو الکترون داریم:

$$\Psi(2,1)=-\Psi(1,2)$$

بنابراین تابع موج نسبت به تبادل دو الکترون پادمتقارن است.

مثال ۲) دو الکترون در یک حالت یکسان

اگر هر دو الکترون بخواهند در یک اوربیتال یکسان \( \phi_a \) باشند:

$$\Psi(1,2)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\phi_a(1)\phi_a(2)-\phi_a(2)\phi_a(1)\right]=0$$

پس تابع موج صفر می‌شود و چنین حالتی مجاز نیست. این همان اصل طرد پاولی است.

مثال ۳) تبادل در حالت اسپینی تکتایی و سه‌تایی

حالت تکتایی:

$$\chi_{\text{singlet}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\uparrow\downarrow-\downarrow\uparrow\right]$$

این حالت با تبادل دو الکترون علامت عوض می‌کند، پس پادمتقارن است.

حالت سه‌تایی:

$$\chi_{\text{triplet}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\uparrow\downarrow+\downarrow\uparrow\right]$$

این حالت با تبادل دو الکترون تغییر علامت نمی‌دهد، پس متقارن است.

مثال ۴) اتم هلیوم

در حالت پایه‌ی اتم هلیوم، هر دو الکترون در اوربیتال \(1s\) قرار دارند.

چون بخش فضایی متقارن است، بخش اسپینی باید پادمتقارن باشد:

$$\chi=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\uparrow\downarrow-\downarrow\uparrow\right]$$

بنابراین دو الکترون می‌توانند در یک اوربیتال باشند، اما باید اسپین مخالف داشته باشند.

مثال ۵) قاعده هوند

اگر دو الکترون در دو اوربیتال هم‌انرژی مانند \(p_x\) و \(p_y\) با اسپین‌های موازی قرار بگیرند،

بخش اسپینی متقارن است؛ پس بخش فضایی باید پادمتقارن باشد:

$$\Psi_{\text{space}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[p_x(1)p_y(2)-p_x(2)p_y(1)\right]$$

این آرایش باعث می‌شود الکترون‌ها به طور میانگین از هم دورتر باشند و دافعه‌ی کولنی کمتر شود.