ریاضیات

تقارن، گروه‌های U(n) و SU(n)، قضیهٔ نوتر و ایزواسپین

در فیزیک نظری، مفهوم تقارن نقش بسیار مهمی دارد. بسیاری از قوانین بقا در طبیعت، مانند بقای انرژی، بقای اندازه حرکت و بقای بار الکتریکی، نتیجهٔ وجود تقارن در دستگاه‌های فیزیکی هستند. این ارتباط عمیق به وسیلهٔ قضیهٔ نوتر بیان می‌شود.

ماتریس‌های واحدی و گروه U(n)

در فضای مختلط، تبدیل‌هایی که طول بردارها را حفظ می‌کنند، با ماتریس‌های واحدی توصیف می‌شوند. اگر U یک ماتریس واحدی باشد، داریم:

U†U = I

که در آن U† ترانهادهٔ مزدوج ماتریس U است. بنابراین:

U-1 = U†

پس در حالت کلی، برای ماتریس‌های واحدی نمی‌گوییم «معکوس برابر ترانهاده است»، بلکه درست آن است که:

معکوس = ترانهادهٔ مزدوج

مجموعهٔ تمام ماتریس‌های واحدی n×n یک گروه را تشکیل می‌دهد که با U(n) نشان داده می‌شود:

U(n) = { U ∈ Cn×n | U†U = I }

گروه SU(n)

زیرگروهی مهم از U(n)، گروه ویژهٔ واحدی یا SU(n) است. این گروه شامل تمام ماتریس‌های واحدی است که دترمینان آن‌ها برابر ۱ باشد:

SU(n) = { U ∈ U(n) | det(U) = 1 }

این گروه در فیزیک اهمیت زیادی دارد. برای مثال:

• SU(2) در بحث اسپین و ایزواسپین کاربرد دارد.
• SU(3) در فیزیک ذرات و نظریهٔ کوارک‌ها نقش اساسی ایفا می‌کند.

قضیهٔ نوتر

امی نوتر (Emmy Noether) ریاضی‌دان برجستهٔ آلمانی بود که در سال 1918 یکی از مهم‌ترین قضیه‌های فیزیک نظری را منتشر کرد. طبق قضیهٔ نوتر:

هر تقارن پیوسته در یک دستگاه فیزیکی، با یک کمیت پایسته متناظر است.

به بیان ساده‌تر، هر جا تقارن وجود داشته باشد، یک قانون بقا نیز وجود دارد.

رابطهٔ تقارن و بقا

• اگر یک سیستم فیزیکی نسبت به انتقال در زمان متقارن باشد، یعنی قوانین آن با گذشت زمان تغییر نکنند، در این صورت انرژی پایسته است.

• اگر یک سیستم نسبت به انتقال در فضا متقارن باشد، یعنی قوانین در همهٔ نقاط فضا یکسان باشند، در این صورت اندازهٔ حرکت پایسته است.

• اگر سیستم نسبت به چرخش متقارن باشد، در این صورت تکانهٔ زاویه‌ای پایسته است.

• اگر معادلات الکترودینامیک تحت تبدیلات پیمانه‌ای ناوردا باشند، در این صورت بار الکتریکی پایسته خواهد بود.

کاربرد تقارن در فیزیک هسته‌ای

یکی از کاربردهای مهم تقارن در فیزیک هسته‌ای، مفهوم ایزواسپین است.

در سال 1932، هایزنبرگ برای توضیح رفتار پروتون و نوترون در نیروی قوی، مفهوم ایزواسپین را وارد فیزیک هسته‌ای کرد. او متوجه شد که پروتون و نوترون از دیدگاه نیروی هسته‌ای قوی بسیار شبیه یکدیگرند و می‌توان آن‌ها را دو حالت مختلف از یک ذره به نام نوکلئون در نظر گرفت.

به این ترتیب، نوکلئون را می‌توان به صورت یک دوتایی نوشت:

N = ( p , n )T

این نمایش از نظر ریاضی شبیه حالت‌های اسپین برای الکترون است. همان‌طور که الکترون دو حالت اسپینی دارد، نوکلئون نیز دو حالت ایزواسپینی دارد:

• حالت پروتون
• حالت نوترون

اعداد کوانتومی ایزواسپین

برای نوکلئون، عدد کوانتومی ایزواسپین برابر است با:

I = 1/2

و مؤلفهٔ سوم ایزواسپین برای دو حالت نوکلئون چنین است:

Iz|p> = +1/2 |p>

Iz|n> = -1/2 |n>

بنابراین، پروتون و نوترون را می‌توان به صورت زیر معرفی کرد:

|p> = | I = 1/2 , Iz = +1/2 >

|n> = | I = 1/2 , Iz = -1/2 >

عملگرهای ایزواسپین

در ایزواسپین نیز مانند اسپین، عملگرهای Ix ، Iy و Iz تعریف می‌شوند. همچنین عملگرهای نردبانی به صورت زیر هستند:

I+ = Ix + iIy

I- = Ix - iIy

این عملگرها می‌توانند دو حالت نوکلئون را به یکدیگر تبدیل کنند:

I+|n> ∝ |p>

I-|p> ∝ |n>

بنابراین، پروتون و نوترون دو حالت از یک دوتایی تقارنی هستند که تحت گروه SU(2) به یکدیگر تبدیل می‌شوند.

تفسیر فیزیکی

البته پروتون و نوترون کاملاً یکسان نیستند؛ زیرا جرم آن‌ها دقیقاً برابر نیست و بار الکتریکی متفاوتی دارند. با این حال، در برهم‌کنش قوی شباهت آن‌ها بسیار زیاد است. بنابراین، ایزواسپین یک تقارن تقریبی در فیزیک هسته‌ای به شمار می‌رود.

جمع‌بندی

• برای ماتریس‌های واحدی داریم: U-1 = U†
• گروه U(n) شامل تمام ماتریس‌های واحدی n×n است.
• گروه SU(n) شامل ماتریس‌های واحدی با دترمینان برابر ۱ است.
• طبق قضیهٔ نوتر، هر تقارن پیوسته با یک کمیت پایسته متناظر است.
• تقارن زمانی باعث بقای انرژی می‌شود.
• تقارن فضایی باعث بقای اندازهٔ حرکت می‌شود.
• تقارن پیمانه‌ای باعث بقای بار الکتریکی می‌شود.
• هایزنبرگ با معرفی ایزواسپین، پروتون و نوترون را به صورت دو حالت از یک نوکلئون در نظر گرفت.
• پروتون و نوترون یک دوتایی از گروه SU(2) را تشکیل می‌دهند.