ریاضیات

تعمیم سوال ۲: فرمول کلی انتگرال‌های نمایی (تابع گاما)

در ادامه سوال قبلی، اگر بخواهیم انتگرال را برای توان‌های بالاتر r (یعنی rn) حل کنیم،
از روش مشتق‌گیری متوالی نسبت به پارامتر α استفاده می‌کنیم.

سؤال ۳) محاسبه فرمول کلی برای

∫0∞ r^n e^−αr dr

با توجه به اینکه هر بار مشتق‌گیری نسبت به α، یک توان از r را ظاهر می‌کند، داریم:

d^n/dα^n (1/α) = (−1)^n n! / α^ (n+1)

از طرفی با مشتق‌گیری زیر علامت انتگرال:

dn/dαn ∫ e−αr dr = ∫ (−r)n e−αr dr

با برابر قرار دادن این دو رابطه، به فرمول طلایی زیر می‌رسیم:

∫0∞ rn e−αr dr = n! / αn+1

سؤال ۴) مثال‌های پرکاربرد در فیزیک اتمی

با استفاده از فرمول کلی بالا، مقادیر زیر به سادگی به دست می‌آیند:

• 
  ۱. برای n=1:

  
  ∫0∞ r e^−αr dr = 1 / α^2



• 
  ۲. برای n=3:

  
  ∫0∞ r^3 e^−αr dr = 6 / α^4

نکته: این انتگرال‌ها در محاسبه مقدار انتظاری شعاع اتم 〈r〉 و نرمال‌سازی تابع موج بسیار کلیدی هستند.