ریاضیات

```html

جابجایی انرژی حالت پایه هلیوم تا مرتبهٔ اول

برای محاسبه‌ی جابجایی انرژی حالت پایه در اتم هلیوم، ابتدا مدل ساده‌ای را در نظر می‌گیریم
که در آن برهم‌کنش دافعه‌ی بین دو الکترون نادیده گرفته شده است.
سپس دافعه‌ی کولنی بین دو الکترون را به صورت یک اختلال وارد می‌کنیم.

۱) هامیلتونی بدون اختلال

در تقریب صفرم، هر الکترون به طور مستقل در میدان هسته با بار Z = 2 حرکت می‌کند:

H0 =
Σi=1,2
[ pi2 / 2m
− 2e² / (4πϵ0 ri) ]

تابع موج حالت پایه، حاصل‌ضرب دو تابع هیدروژن‌مانند 1s است:

Ψ0(r1,r2) = φ1s(r1) φ1s(r2)

انرژی حالت پایه در این تقریب:

E0(0) = 2 × (−54.4 eV) = −108.8 eV

۲) اختلال: دافعه‌ی کولنی بین دو الکترون

برهم‌کنش واقعی بین دو الکترون به صورت زیر وارد می‌شود:

H' = e² / (4πϵ0 r12)

که در آن:

• r12 فاصله‌ی بین دو الکترون است.


• علامت مثبت نشان می‌دهد که این برهم‌کنش دافعه‌ای است.

۳) جابجایی انرژی تا مرتبهٔ اول

در نظریه‌ی اختلال، اصلاح مرتبهٔ اول انرژی برابر امید ریاضی اختلال در حالت پایه‌ی بدون اختلال است:

E0(1) = 〈Ψ0|H'|Ψ0〉

E0(1) =
(e² / 4πϵ0) 〈1 / r12〉

برای دو الکترون در اوربیتال 1s هیدروژن‌مانند، نتیجه‌ی استاندارد این انتگرال:

〈1 / r12〉 = 5Z / 8a0

پس داریم:

E0(1) =
(e² / 4πϵ0) (5Z / 8a0)

با استفاده از رابطه:

e² / (4πϵ0 a0) = 27.2 eV

بنابراین:

E0(1) = (5Z / 8) × 27.2 eV

برای هلیوم که Z = 2 است:

E0(1) = (5 × 2 / 8) × 27.2 = 34.0 eV

این مقدار مثبت است، چون دافعه‌ی الکترون–الکترون انرژی را بالا می‌برد
و حالت مقید را کمتر منفی می‌کند.

۴) انرژی کل حالت پایه تا مرتبهٔ اول

انرژی نهایی تا مرتبهٔ اول برابر مجموع انرژی صفرم و جابجایی مرتبهٔ اول است:

E0 ≈ E0(0) + E0(1)

E0 ≈ −108.8 + 34.0 = −74.8 eV

پس جابجایی انرژی حالت پایه تا مرتبهٔ اول برابر 34.0 eV است
و انرژی کل حالت پایه در این تقریب حدود −74.8 eV به دست می‌آید.

```