5--همیلتونی (مکانیک کوانتومی)

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه هجدهم دی ۱۴۰۲ | 2:15

پتانسیل الکترواستاتیک (کولن) [ ویرایش ]

انرژی پتانسیل کولن برای بارهای دو نقطه ای $q_{1}$ و $q_{2}$ (یعنی آنهایی که به طور مستقل وسعت فضایی ندارند)، در سه بعد (در واحدهای SI - به جای واحدهای گاوسی که اغلب در الکترومغناطیس استفاده می شوند ) است:

$V={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} |}}$

با این حال، این فقط پتانسیل یک شارژ نقطه به دلیل دیگری است. اگر ذرات باردار زیادی وجود داشته باشد، هر بار به دلیل هر بار نقطه ای دیگر (به جز خودش) انرژی بالقوه ای دارد. براین $ن$ بارها، انرژی پتانسیل بار $q_{j}$ به دلیل همه بارهای دیگر (همچنین نگاه کنید به انرژی پتانسیل الکترواستاتیک ذخیره شده در پیکربندی بارهای نقطه گسسته ): [3]

$V_{j}={\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i})={\frac {1 }{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf { r} _{j}|}}$

جایی که $\phi (\mathbf {r} _{i})$ پتانسیل الکترواستاتیک بار است $q_{j}$ در $\mathbf {r} _{i}$ . پس مجموع پتانسیل کل سیستم تمام می شود $j$ :

$V={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{ i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}$

بنابراین همیلتونی:

${\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{j=1}^{N}{\frac { 1}{m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N} \sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\\&= \sum _{j=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1 }{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf { r} _{j}|}}\راست)\\\end{تراز شده}}$

دوقطبی الکتریکی در میدان الکتریکی [ ویرایش ]

برای یک لحظه دوقطبی الکتریکی $\mathbf{d}$ قدر را تشکیل می دهند $q$ ، در یک میدان الکترواستاتیک یکنواخت (مستقل از زمان) $\mathbf {E}$ ، با قرار گرفتن در یک مکان، پتانسیل این است:

$V=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E}$

ممان دوقطبی خود عملگر است

$\mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {\hat {r}}$

از آنجایی که ذره ساکن است، انرژی جنبشی انتقالی دوقطبی وجود ندارد، بنابراین همیلتونین دوقطبی فقط انرژی پتانسیل است:

${\hat {H}}=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E} =-q\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {E}$

دوقطبی مغناطیسی در میدان مغناطیسی [ ویرایش ]

برای یک لحظه دوقطبی مغناطیسی ${\boldsymbol {\mu }}$ در یک میدان مغناطیسی یکنواخت (مستقل از زمان) $\mathbf {B}$ ، با قرار گرفتن در یک مکان، پتانسیل این است:

$V=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B}$

${\hat {H}}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B}$

برای یک ذره اسپین 1 ⁄ 2 ، گشتاور مغناطیسی اسپین مربوطه به صورت زیر است: [4]

${\boldsymbol {\mu }}_{S}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S}$

جایی که $g_{s}$ " ضریب اسپین g " است (با نسبت ژیرو مغناطیسی اشتباه نشود ه $ه$ بار الکترون است، $\mathbf {S}$ بردار عملگر اسپین است که اجزای آن ماتریس های پائولی هستند ، بنابراین

${\hat {H}}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S} \cdot \mathbf {B}$

ذرات باردار در میدان الکترومغناطیسی [ ویرایش ]

برای یک ذره با جرم $متر$ و شارژ کنید $q$ در یک میدان الکترومغناطیسی، که توسط پتانسیل اسکالر توصیف می شود $\phi$ و پتانسیل برداری $\mathbf {A}$ ، دو بخش برای هامیلتونی وجود دارد که باید جایگزین شوند. [1] عملگر حرکت متعارف ${\mathbf {{\hat {p}}}}$ ، که شامل مشارکتی از $\mathbf {A}$ فیلد و رابطه کموتاسیون متعارف را برآورده می کند ، باید کوانتیزه شود.

$\mathbf {\hat {p}} =m{\dot {\mathbf {r} }}+q\mathbf {A} ,$

جایی که˙ $m{\dot {\mathbf {r} }}$ تکانه جنبشی است . نسخه کوانتیزاسیون خوانده می شود

$\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla ,$

بنابراین عملگر انرژی جنبشی مربوطه است

${\hat {T}}={\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {\hat {p}} -q\mathbf {A} \right)^{2}$

و انرژی پتانسیل، که به دلیل $\phi$ فیلد، توسط

${\hat {V}}=q\phi .$

ریختن همه اینها در همیلتونی می دهد

${\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} \right)^{2}+q\phi .$

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

5--همیلتونی (مکانیک کوانتومی)

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین