ریاضیات

اصطکاک فانینگ

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه سی ام دی ۱۳۹۷ | 9:53

ضریب اصطکاک فانینگ ، به نام بعد از جان توماس فانینگ ، یک است عدد بدون بعد به عنوان یک پارامتر محلی در محاسبات مکانیک محیطهای پیوسته استفاده می شود. این رابطه به عنوان رابطه بینتنش برشی محلی و تراکم انرژی جنبشی جریان محلی تعریف می شود:

${\ displaystyle f = {\ frac {\ tau} {\ rho {\ frac {u ^ {2}} {2}}}}}$

$f$ فانکشن اصطکاک محلی (بدون بعد)
$\ tau$ استرس برشی محلی (واحد در یا یا $\ tau$ )
$تو$ سرعت جریان فلو (واحد در ${\ displaystyle {\ frac {ft} {s}}}$ یا ${\ frac {m} {s}}$ )
$\ rho$ است تراکم سیال (واحد در ${\ displaystyle {\ frac {lb_ {m}} {ft ^ {3}}}}$ یا ${\ displaystyle {\ frac {kg} {m ^ {3}}}}$ )

به طور خاص، تنش برشی در دیوار، به نوبه خود، می تواند به کاهش فشار با ضرب تنش برشی دیوار توسط منطقه دیوار ( $2 \ pi RL$ برای یک لوله با مقطع دایره ای) و تقسیم بر روی سطح جریان مقطع عرضی ( $\ pi R ^ 2$ برای یک لوله با مقطع دایره ای). بدین ترتیب ${\ displaystyle \ Delta P = f {\ frac {L} {R}} \ rho u ^ {2}}$

فرمول اصلاح اصطکاک Fanning [ ویرایش ]

این عامل اصطکاک یک چهارم از عامل اصطکاک دارسی است ، بنابراین توجه داشته باشید که یکی از این ها در نمودار "اصطکاک" یا معادله مشورت شده است. از این دو، اصطکاک Fanning معمولا توسط مهندسان شیمی و کسانی که از کنوانسیون بریتانیا پیروی می کنند استفاده می شود.

فرمول های زیر ممکن است برای بدست آوردن اصطکاک Fanning برای کاربردهای رایج استفاده شوند.

ضریب اصطکاک دارسی نیز می تواند به عنوان بیان می شود ^[3]

$\ tau$ استرس برش در دیوار است
$\ rho$ تراکم مایع است
${\ bar u}$ سرعت جریان به طور متوسط بر روی مقطع جریان جریان لمینار در یک لوله گرد [ ویرایش ]

از نمودار، مشخص است که عامل اصطکاکی به دلیل برخی از زبری در سطح میکروسکوپی، حتی صفر نیست حتی برای لوله های صاف.

فاكتور اصطكاك براي جريان لاميني مايعات نيوتني در لوله هاي گرد، اغلب به صورت زير است: ^[4]

جایی که Re تعداد رینولدز جریان است.

برای یک کانال مربع ارزش استفاده شده است:

${\ displaystyle f = {\ frac {14.227} {Re}}}$

برای جریان آشفته در یک لوله گرد [ ویرایش ]

هیدرولیکی لوله صاف [ ویرایش ]

بلايوس در سال 1913 بیانگر فاکتور اصطکاکی برای جریان در رژیم بود ${\ displaystyle 2100 <Re <10 ^ {5}}$

${\ displaystyle f = {\ frac {0.0791} {Re ^ {0.25}}}}$

${\ displaystyle 10 ^ {4} <Re <10 ^ {7}}$ Koo یک فرمول صریح دیگر را در سال 1933 برای یک جریان آشفته در منطقه ای به نام "Koo" معرفی کرد

${\ displaystyle f = 0.0014 + {\ frac {0.125} {Re ^ {0.32}}}}$

لوله / لوله های زبری عمومی [ ویرایش ]

${\ displaystyle 4 \ centerdot 10 ^ {4} <Re <10 ^ {7}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ epsilon} {D}} <0.05}$ ، این فاکتور را باید زمانی که فاکتور اصطکاک Fanning محاسبه می شود، در نظر بگیریم. رابطه بين زبري لوله و فاكتور اصطكاك Fanning توسط Haaland (1983) تحت شرايط جريان كانال توسعه يافت

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {f}}} = - 3.6 \ log_ {10} \ left [{\ frac {6.9} {Re}} + \ left {{\ frac {\ epsilon / D} {3.7}} \ right) ^ {10/9} \ right]}$

جایی که

$\ epsilon$ زبری سطح داخلی لوله (ابعاد طول)
D قطر لوله داخلی است؛

خط لوله به طور کامل خشن [ ویرایش ]

همانطور که زبری به هسته آشفته گسترش می یابد، عامل اصطکاک Fanning مستقل از ویسکوزیته مایع در تعداد رینولدز بزرگ است، همانطور که توسط Nikuradse و Reichert (1943) برای جریان در منطقه ${\ displaystyle Re> 10 ^ {4}؛ {\ frac {k} {D}}> 0.01}$ . معادله زیر از قالب اصلی اصلاح شده است که برای ضریب اصطکاک دارسی با یک ضریب ساخته شده است

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {f}}} = 2.28-4.0 \ log_ {10} \ left ({\ frac {k} {D}} \ right)}$

بیان عمومی [ ویرایش ]

برای رژیم جریان آشفته، رابطه بین فاکتور اصطکاک Fanning و تعداد Reynolds پیچیده تر است و توسط معادله Colebrook ^[6] که به صورت ضمنی در

${\ displaystyle {1 \ over {\ sqrt {\ mathit {f}}}} = - 2.0 \ log_ {10} \ left ({\ frac {\ frac {\ epsilon} {d}} {3.7}} + {\ frac {2.51} {Re {\ sqrt {\ mathit {f}}}}} \ right)Ø {\ text {Ø¬Ø±ÛØ§Ù Ø¢Ø´ÙØªÙ}}}$

تقریب های صریح مختلف مربوط به عامل اصطکاک دارسی برای جریان آشفته ایجاد شده است.

استوارت و چرچیل ^[5] یک فرمول را ارائه دادند که فاکتور اصطکاک را برای جریانهای لمینار و آشفته ای پوشش می دهد. این در ابتدا برای توصیف نمودار مودی ، که ضریب اصطکاک Darcy-Weisbach را در برابر تعداد رینولدز قرار می دهد، تولید می شود. فرمول Darcy Weisbach

$\ frac {1} {4}$ برای تولید فرمول زیر داده شده است.

Re، تعداد رینولدز ( بدون واحد )؛
ε، زبری سطح درونی لوله (ابعاد طول)؛
D ، قطر داخلی لوله؛

$f = 2 \ left {\ left {\ frac {8} {Re} \ right} ^ {12} + \ left (A + B \ right) ^ {-1.5} \ right) ^ {\ frac {1} { 12}}$

$A = \ left (2.457 \ ln \ left {\ left {\ left {\ frac {7} {Re} \ right) ^ {0.9} + 0.27 \ frac {\ epsilon} {D} \ right) ^ {-1 } \ right) \ right) ^ {16}$

$B = \ left (\ frac {37530} {Re} \ right) ^ {16}$

جریان در کانال های غیر دایره ای [ ویرایش ]

$R_ {H}$ هنگام محاسبه برای تعداد رینولدز با توجه به هندسه کانال های غیر دایره ای، فانکشن اصطکاک Fanning را می توان از بیانات جبری بالا با استفاده از شعاع هیدرولیکی

کاربرد [ ویرایش ]

سر اصطکاک می تواند به کاهش افت فشار با توجه به اصطکاک با تقسیم افت فشار توسط محصول شتاب به علت گرانش و تراکم مایع مرتبط باشد. بر این اساس، رابطه بین سر اصطکاک و فاکتور اصطکاک Fanning:

${\ displaystyle \ Delta h = f {\ frac {u ^ {2} L} {gR}} = 2f {\ frac {u ^ {2} L} {gD}}}$

جایی که:

$\ Delta h$ افتادن اصطکاک (در سر) لوله است.
$f$ Fanning اصطکاک Fanning لوله است.
$تو$ سرعت جریان در لوله است.
$ل$ طول لوله است.
$g$ شتاب گرانشی محلی است.
$د$ قطر لوله است.

نمودار مودی

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه سی ام دی ۱۳۹۷ | 9:33

در مهندسی، نمودار مودی بدون بعد فرم است که مربوط به دارسی-Weisbach ضریب اصطکاک F _D ، عدد رینولدز و زبری سطح برای به طور کامل توسعه جریان در یک لوله مدور. این می تواند مورد استفاده قرار گیرد برای پیش بینی افت فشار یا سرعت جریان پایین لوله.

در سال 1944، لوئیس فری مودی ، عامل اصطکاک Darcy-Weisbach را در برابر Reynolds number Re برای مقادیر مختلف زبری نسبی ε / D طراحی کرد . ^[1] این نمودار به طور معمول به عنوان نمودار ماهوی یا نمودار مودی شناخته می شود . این کار کارهای هانتر روئوس را تطبیق می دهد ^[2] اما از انتخاب عملی تر مختصات استخدام شده توسط RJS Pigott ^{[3] استفاده می کند} که کار آن بر اساس تجزیه و تحلیل برخی از 10،000 آزمایش از منابع مختلف صورت گرفته است. ^[4] اندازه گیری جریان سیال در لوله های مصنوعی خرد شده توسط J. Nikurads ^[5] در حال حاضر در حال حاضر بیش از حد اخیر در نمودار Pigoft شامل.

هدف این نمودار ارائه یک نمایش گرافیکی از عملکرد CF Colebrook در همکاری با CM White ^{[6] بود} که یک شکل عملی از منحنی انتقال را برای پل زدن انتقال بین لوله های صاف و خشن، منطقه آشفتگی ناقص ارائه کرد.

این نمودار بعد استفاده شده است به کار کردن افت فشار، Δ P (PA) (یا از دست دادن سر، ساعت _F (M)) و میزان جریان از طریق لوله های. از دست دادن سر با استفاده از معادله Darcy-Weisbach محاسبه می شود که در آن عامل اصطکاک Darcy f _D :

${\ displaystyle h_ {f} = f_ {D} {\ frac {L} {D}} {\ frac {V ^ {2}} {2 \Ø g}}Ø}$

این فرمول نباید با معادله فانینگ اشتباه گرفته شود ، با استفاده از Fancy اصطکاک F ، برابر یک چهارم از ضریب اصطکاک Darcy-Weisbach f _D :

${\ displaystyle h_ {f} = 4f {\ frac {L} {D}} {\ frac {V ^ {2}} {2 \Ø g}}Ø}$

سپس کاهش فشار می تواند مورد بررسی قرار گیرد:

${\ displaystyle \ Delta p = \ rho \Ø g \Ø h_ {f}}$

یا به طور مستقیم از

${\ displaystyle \ Delta p = f_ {D} {\ frac {\ rho V ^ {2}} {2}} {\ frac {L} {D}}Ø}$

جایی که ρ چگالی مایع است، V سرعت متوسط در لوله است، f _D عامل اصطکاک از نمودار Moody است، L طول لوله است و D قطر لوله است.

نمودار رسم دارسی-Weisbach ضریب اصطکاک F _D برابر عدد رینولدز پاسخ برای انواع ناهمواریهای نسبی، نسبت ارتفاع متوسط زبری لوله به قطر لوله و یا ε / D .

نمودار Moody را می توان به دو رژیم جریان تقسیم کرد: لمینار و آشفته . برای رژیم جریان انعطاف پذیر (Re ~ 3000)، زبری از اثر قابل توجهی برخوردار نیست و ضریب اصطکاک Darcy-Weisbach f _D بوسیله Poiseuille تحلیلی تعیین می شود :

${\ displaystyle f_ {D} = 64 / \ mathrm {Re}Ø {\ text {Ø¨Ø±Ø§Û Ø¬Ø±ÛØ§Ù laminar}}.}$

برای رژیم جریان آشفته، رابطه بین فاکتور اصطکاک f _D ، تعداد Reynolds Re و زبری نسبی ε / D پیچیده تر است. یک مدل برای این رابطه معادله کولبروک است (که یک معادله ضمنی در f _{D است} ):

${\ displaystyle {1 \ over {\ sqrt {f_ {D}}}} = - 2.0 \ log_ {10} \ left ({\ frac {\ epsilon / D}{3.7}} + {\frac {2.51} {\ mathrm {Re} {\ sqrt {f_ {D}}}}} \ right)Ø {\ text {Ø¨Ø±Ø§Û Ø¬Ø±ÛØ§Ù Ø¢Ø´ÙØªÙ}}.}$

قضیه اویلر

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه نهم دی ۱۳۹۷ | 8:16

قضیه اویلر یا قضیه اولر: فرض کنید m عددی طبیعی و a عددی صحیح باشد و داشته باشیم ۱=(a،m). در این صورت:

$a^{\phi (m)}\equiv 1{\pmod {m}}$

ابتدا باید دستگاه مخفف مانده ها را معرفی کنیم. فرض کنید m عددی طبیعی و A مجموعه‌ای از اعداد صحیح باشد. A را یک دستگاه مخفف مانده‌ها به پیمانه m می نامند به شرطی که تمام اعضای A نسبت به m اول باشند و هر عدد صحیح که نسبت به m اول است دقیقاً با یکی از اعضای A به پیمانه m همنهشت باشد.

حال فرض کنید $r_{1},r_{2},...,r_{\phi (m)}\,$ دستگاه مخففی از مانده‌ها به پیمانه m باشد

چون ۱ = (a،m) پس مجموعهٔ

$ar_{1},ar_{2},...,ar_{\phi (m)}\,$

هم دستگاه مخفف مانده‌ها به پیمانه m است زیرا اگر i و j وجود داشته باشند که

$ar_{i}\equiv ar_{j}{\pmod {m}}$

چون ۱ = (a،m) داریم $r_{i}\equiv r_{j}{\pmod {m}}$ که خلاف فرض است و ضمناً چون $ar_{1},ar_{2},...,ar_{\phi (m)}\,$ هم دستگاه مخفف مانده‌ها به پیمانه m است.بنابرین هر یک از اعداد $r_{1},r_{2},...,r_{\phi (m)}\,$ دقیقاً با یکی از اعداد $ar_{1},ar_{2},...,ar_{\phi (m)\,}$ همنهشت است پس

${r_{1}}{r_{2}}{...}{r_{\phi (m)}\,}\equiv {ar_{1}}{ar_{2}}{ar_{\phi (m)}\,}{\pmod {m}}$ پس ${r_{1}}{r_{2}}{...}{r_{\phi (m)}\,}\equiv {a^{\phi (m)}\,}{r_{1}}{r_{2}}{r_{\phi (m)}\,}{\pmod {m}}$ چون

1=( ${r_{1}}{r_{2}}{...}{r_{\phi (m)}\,},m$ ) پس

$a^{\phi (m)}\equiv 1{\pmod {m}}$

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

آموزش ریاضی

اصطکاک فانینگ

فرمول اصلاح اصطکاک Fanning [ ویرایش ]

برای جریان آشفته در یک لوله گرد [ ویرایش ]

هیدرولیکی لوله صاف [ ویرایش ]

لوله / لوله های زبری عمومی [ ویرایش ]

خط لوله به طور کامل خشن [ ویرایش ]

بیان عمومی [ ویرایش ]

جریان در کانال های غیر دایره ای [ ویرایش ]

کاربرد [ ویرایش ]

نمودار مودی

قضیه اویلر

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین