ریاضیات

تجزیهٔ پیرس: قطعه‌بندی جبر به بلوک‌های ساختاری از طریق خودتوان‌ها

ارتباط میان ساختار داخلیِ خودِ جبر و مدول‌های تصویریِ روی آن، از مجرای عناصری به نام «خودتوان‌ها» (Idempotents) تعریف می‌شود. «تجزیهٔ پیرس» روشی دقیق برای تبدیل جبر به یک شبکهٔ ماتریسی از فضاهای تعاملی است.

1. ۱. دستگاه کامل خودتوان‌های متعامد:
   

   عناصری مانند e در جبر که توان دوم آن‌ها با خودشان برابر است و ضرب دو به دوی آن‌ها صفر می‌شود. اگر جمع این عناصر برابر با یکِ جبری گردد، یک دستگاه کامل را تشکیل می‌دهند.

2. ۲. شکستن جبر به جمع مستقیم مدول‌های تصویری:
   

   با ضرب خودتوان‌های اولیه در جبر از سمت چپ، جبر به جمع مستقیم مدول‌های تصویری تجزیه‌ناپذیر راست شکسته می‌شود. بدین‌سان، هر رأس در کوییور جبر، متناظر با یک خودتوان اولیهٔ بدوی است.

3. ۳. تجزیهٔ دوسویهٔ پیرس (Two-Sided Peirce Decomposition):
   

   با اعمال خودتوان‌ها از چپ و راست، کل جبر به مجموعه‌ای از بلوک‌ها به شکل e_i A e_j تجزیه می‌شود. این بلوک‌ها مستقیماً اندازه و ابعاد هومومورفیسم‌های میان مدول‌های تصویری را تعیین می‌کنند.

4. ۴. گذار به جبرهای بنیادی (Basic Algebras):
   

   با حذف خودتوان‌های تکراری و هم‌ارز، جبری به مراتب فشرده‌تر به دست می‌آید که «جبر بنیادی» نام دارد؛ جبری که رستهٔ مدول‌های آن دقیقاً معادل رستهٔ جبر نخستین است اما هیچ عنصر تکراری اضافه‌ای در ساختار خود ندارد.