ریاضیات

مبحث کوئیورها ــ محور دوم: تعریف‌ها، فرض‌ها و اصول ساختاری

«کوئیور، گرافی جهت‌دار است؛ و نمایش آن، نشاندنِ فضاهایی بر رأس‌ها و نگاشت‌هایی بر پیکان‌هاست.»

۱. تعریف کوئیور

یک کوئیور، یا گراف جهت‌دار، از مجموعه‌ای از رأس‌ها و مجموعه‌ای از پیکان‌ها تشکیل می‌شود. برای هر پیکان، یک رأس آغاز و یک رأس پایان در نظر می‌گیریم. به زبان نمادین می‌توان نوشت:

Q = (Q₀, Q₁, s, t)

در این نماد، Q₀ مجموعهٔ رأس‌ها و Q₁ مجموعهٔ پیکان‌هاست؛ s و t به‌ترتیب رأس آغاز و رأس پایان هر پیکان را تعیین می‌کنند. ممکن است میان دو رأس چند پیکان وجود داشته باشد، یا پیکانی از یک رأس به خودش بازگردد.

۲. نمایش یک کوئیور

نمایشی از Q روی یک میدان k، به هر رأس i یک فضای برداری V_i، و به هر پیکان a از i به j یک نگاشت خطی نسبت می‌دهد:

V_a : V_i → V_j

بنابراین نمایش کوئیور، مجموعه‌ای از فضاهای برداری و نگاشت‌های سازگار با جهت پیکان‌هاست. برای نمونه، اگر پیکانی از رأس ۱ به رأس ۲ داشته باشیم، نگاشت متناظر آن از فضای رأس ۱ به فضای رأس ۲ می‌رود.

۳. مسیر و جبر مسیر

مسیر رشته‌ای از پیکان‌هاست که سر و ته پیکان‌های پیاپی با هم جور باشند. در کنار مسیرهای دارای طول مثبت، برای هر رأس یک مسیر طول‌صفر نیز در نظر می‌گیریم.

جبر مسیر Q روی میدان k، که با kQ نشان داده می‌شود، فضای برداری‌ای است که پایه‌اش را همهٔ مسیرهای کوئیور تشکیل می‌دهند. ضرب مسیرها با چسباندن مسیرهای سازگار تعریف می‌شود؛ اگر دو مسیر برای چسباندن سازگار نباشند، حاصل‌ضربشان صفر است. قرارداد دقیق ترتیب نوشتنِ ضرب مسیرها در کتاب‌ها و جزوه‌ها ممکن است متفاوت باشد.

اگر کوئیور متناهی و بدون دور باشد، تعداد مسیرهایش متناهی است و جبر مسیر آن متناهی‌بُعد خواهد بود. اما وجود دور می‌تواند مسیرهایی با طول دلخواه بسازد؛ در این صورت جبر مسیر لزوماً متناهی‌بُعد نیست.

۴. روابط و جبرهای کوئیوری

برای بیان محدودیت‌های بیشتر میان مسیرها، از روابط استفاده می‌کنیم. این روابط معمولاً ترکیب‌های خطی از مسیرها هستند و با یک ایده‌آل دوطرفه I در جبر مسیر نمایش داده می‌شوند. در نتیجه، جبر مورد نظر به صورت خارج‌قسمت زیر نوشته می‌شود:

kQ / I

در کاربردهای متداول، جبرهای متناهی‌بُعدِ پایه را می‌توان ــ با فرض‌های مناسب ــ به صورت جبر یک کوئیور همراه با روابط بیان کرد. برای یک جبر متناهی‌بُعد دلخواه، صورت‌بندی کوئیوری معمولاً پس از گذر به جبر پایه و تا هم‌ارزی موریتا بیان می‌شود.