ریاضیات

تکمیل برهان حکم ۷.۹ و نتیجه‌گیری اساسی

۱. پایان اثبات تناقض در حکم ۷.۹

فرض کنید f'_n (کلاس هم‌ارزی در خارج‌قسمت) عضوی ناصفر در

rad_Λⁿ(C'_n, B) / rad_Λⁿ⁺¹(C'_n, B) باشد.

از آنجا که طبق لم پیشین:

rad_Λⁿ⁺¹(C'_n, B) = Im Hom_Λ(C'_n, f_n+1)

پس ریختی مانند g: C'_n → C_n+1 وجود دارد به‌طوری که f'_n = f_n+1 ∘ g.

با توجه به رابطهٔ f_n+1 = f_n ∘ h که در آن h ∈ rad_Λ(C_n+1, C_n)،

با استفاده از تصویر p از C_n بر روی C'_n (که در آن C_n = C'_n ⊕ C''_n) به دست می‌آوریم که

p ∘ h ∘ g یک بروریختی است.

این موضوع با فرض h ∈ rad_Λ در تناقض است؛ لذا اثبات کامل می‌گردد. ∎

۲. نتیجهٔ مهم

برای یک مدول B ∈ mod Λ، گزاره‌های زیر هم‌ارزند:

• تکیه‌گاه تانگر Hom_Λ(-, B) نامتناهی است.
• برای هر n ∈ N داریم: rad_Λⁿ(-, B) / rad_Λⁿ⁺¹(-, B) ≠ 0.
• فضای خارج‌قسمتی Hom_Λ(-, B) / rad_Λ^∞(-, B) نامتناهی است.

شرح اصطلاحات پایه‌ای

۱. رادیکال یک مدول (rad A)

رادیکال یک Λ-مدول A، برابر با اشتراک تمام زیرمدول‌های ماکزیمال A تعریف می‌شود.

۲. طول رادیکال یا طول لووی (Loewy Length)

کوچک‌ترین عدد صحیح i که به ازای آن rⁱA = 0 باشد، طول لووی نامیده می‌شود:

0 ⊂ r^i-1A ⊂ ... ⊂ rA ⊂ A

۳. مدول تجزیه‌ناپذیر (Indecomposable)

مدولی که نتوان آن را به صورت جمع مستقیم دو زیرمدول محض و غیرصفر نوشت.

۴. هم‌هسته (Cokernel)

برای ریخت f: M → N داریم: Coker f = N / Im f.

فصل ششم: مؤلفه‌های رستهٔ مدول‌های تجزیه‌ناپذیر

۱. تعریف رستهٔ ind Λ

زیررستهٔ کامل از mod Λ شامل نمایندگان رده‌های یکریختی مدول‌های تجزیه‌ناپذیر.

۲. مؤلفه‌های ind Λ

دو مدول A, B را مرتبط می‌گوییم هرگاه یک ریخت تجزیه‌ناپذیر A → B یا B → A وجود داشته باشد. کلاس‌های هم‌ارزی حاصل از بستار تعدی این رابطه، مؤلفه‌های ind Λ نامیده می‌شوند.