ریاضیات

تکمیل برهان‌های استقرایی و نتیجه‌گیری حکم ۷.۹

در ادامهٔ مبحث پیشین، گام استقرای لم ۷.۱۰ را نهایی کرده و با استفاده از آن، به اثبات حکم ۷.۹ می‌پردازیم که ارتباط مستقیمی با ماهیت نامتناهیِ تکیه‌گاه‌های رادیکالی دارد.

۱. بررسی شمول و برابری تصویرها

برای تکمیل گام استقرای لم ۷.۱۰، می‌خواهیم نشان دهیم تصویر فانکتور همورفتی، دقیقاً برابر با توان n+1-امِ رادیکال است.

فرض کنید α ∈ rad_Λⁿ⁺¹(X, B) یک ریخت دلخواه باشد. طبق تعریف توان‌های رادیکال، می‌توان آن را به‌صورت ترکیب دو ریخت نوشت:

α = α'' ∘ α'

که در آن α' ∈ rad_Λ(X, Y) و α'' ∈ rad_Λⁿ(Y, B) هستند.

حال با استفاده از فرض استقرا برای n، می‌دانیم که α'' در تصویر Hom_Λ(Y, f_n) قرار دارد، پس α'' = f_n ∘ β برای نگاشتی مناسب β.

با جایگذاری خواهیم داشت:

α = f_n ∘ β ∘ α' = f_n ∘ h ∘ β' = f_n+1 ∘ β'

بنابراین شمول rad_Λⁿ⁺¹(X, B) ⊆ Im Hom_Λ(X, f_n+1) محقق شده و تساوی و برهان لم کامل می‌گردد.

۲. اثبات حکم ۷.۹

اکنون فرض می‌کنیم تکیه‌گاه فانکتور Hom_Λ(−, B) نامتناهی باشد.

پرسش اینجاست: آیا زنجیرهٔ رادیکالی سرانجام صفر می‌شود؟

اگر برای مقداری از n خارج‌قسمتِ rad_Λⁿ / rad_Λⁿ⁺¹ برابر صفر می‌بود، آنگاه زنجیره زودتر متوقف می‌شد و نوع نمایش جبری، متناهی بود.

اما با به‌کارگیری لم ۷.۱۰ و تجزیهٔ مدول C_n به جمع مستقیم مؤلفه‌های تجزیه‌ناپذیر، نشان می‌دهیم که همواره لایه‌ای جدید برای تقسیم باقی می‌ماند:

rad_Λⁿ(−, B) / rad_Λⁿ⁺¹(−, B) ≠ 0

این نتیجه‌گیری گواهی است بر وجود بی‌پایان ریخت‌های تجزیه‌ناپذیرِ متوالی در رستهٔ مدول‌های جبرهایی که «نامتناهی‌نمایش» هستند؛ در واقع این زنجیره، ساختارِ پیچیده و «رام‌ناپذیر»ِ این دسته‌ها را به تصویر می‌کشد.