ریاضیات

تحلیل ریخت‌ها در جبرهای متناهی و زنجیره‌های نزولی رادیکال

در این نوشته، ریخت‌های میان مدول‌های تجزیه‌ناپذیر را با کمک رادیکالِ رستهٔ
مدول‌ها بررسی می‌کنیم. نکتهٔ اصلی آن است که اگر تکیه‌گاهِ فانکتور همورفتی
متناهی باشد، توان‌های بالای رادیکال سرانجام صفر می‌شوند؛ اما اگر این تکیه‌گاه
نامتناهی باشد، زنجیرهٔ رادیکالی می‌تواند تا بی‌نهایت ادامه یابد.

۱. قضیهٔ ۷.۸: تجزیهٔ ریخت‌های رادیکالی

قضیهٔ ۷.۸.
فرض کنید Λ یک جبر با نوع نمایش متناهی باشد و A و B دو مدول تجزیه‌ناپذیر باشند.
آن‌گاه هر ریخت
f ∈ rad_Λ(A, B)
را می‌توان به‌صورت مجموعی متناهی از ترکیب ریخت‌های تحویل‌ناپذیر میان
مدول‌های تجزیه‌ناپذیر نوشت.

برهان.
بنا بر قضیهٔ ۷.۷، تکیه‌گاه فانکتور
Hom_Λ(−, B)
متناهی است. پس طبق نتیجهٔ پیشین، برای عددی طبیعی n داریم:

rad_Λⁿ(−, B) = 0

بنابراین تجزیهٔ رادیکالیِ متناهیِ ریخت‌ها قابل اعمال است و هر ریخت رادیکالی
از A به B به مجموعی از ترکیب‌های ریخت‌های تحویل‌ناپذیر تجزیه می‌شود.

یادآوری:
ریختِ تحویل‌ناپذیر، ریختی میان مدول‌های تجزیه‌ناپذیر است که نتوان آن را به
ترکیب دو ریختِ غیرقابل‌وارون‌سازیِ غیر بدیهی نوشت.

۲. زنجیرهٔ نزولی توان‌های رادیکال

برای هر مدول B، توان‌های رادیکال زنجیرهٔ زیر را می‌سازند:

⋯ ⊆ rad_Λⁿ(−, B)
⊆ rad_Λⁿ⁻¹(−, B)
⊆ ⋯ ⊆ Hom_Λ(−, B)

اگر تکیه‌گاهِ
Hom_Λ(−, B)
نامتناهی باشد، بنا بر حکم ۷.۹ این زنجیره اکیداً نزولی است؛ یعنی هر شمول
پیاپی محض است:

rad_Λⁿ(−, B)
⊊ rad_Λⁿ⁻¹(−, B)

به بیان دیگر، هیچ‌یک از این گام‌ها با گام پیش از خود برابر نمی‌شود.

۳. حکم ۷.۹: ناصفر بودن خارج‌قسمت‌های پیاپی

حکم ۷.۹.
اگر برای مدول
B ∈ mod Λ
تکیه‌گاهِ
Hom_Λ(−, B)
نامتناهی باشد، آن‌گاه برای هر عدد طبیعی n داریم:

rad_Λⁿ(−, B)
/ rad_Λⁿ⁺¹(−, B) ≠ 0

ناصفر بودن این خارج‌قسمت نشان می‌دهد که:

rad_Λⁿ⁺¹(−, B)
⊊ rad_Λⁿ(−, B)

پس نامتناهی بودن تکیه‌گاه، زنجیره‌ای بی‌پایان از لایه‌های رادیکالیِ غیرصفر
پدید می‌آورد؛ در حالی که در حالت نمایش متناهی، توان‌های رادیکال سرانجام
صفر می‌شوند.

نکتهٔ اصطلاحی:
در این بحث، تعبیر دقیق «زیر‌فانکتور» یا «زیر‌فانکتورِ
Hom_Λ(−, B)» است؛ نه «زیرتانگر».
همچنین این موضوع با «دسته‌های تاناکایی» ارتباط مستقیمی ندارد.