ریاضیات

تکمیل برهان‌های استقرایی و نتیجه‌گیری حکم ۷.۹

۱. بررسی شمول و برابری تصویرها

برای تکمیل گام استقرای لم ۷.۱۰، با انتخاب عضو دلخواه $\alpha \in \mathrm{rad}_\Lambda^{n+1}(X, B)$ نشان داده می‌شود که $\alpha = \alpha'' \circ \alpha'$ که در آن $\alpha' \in \mathrm{rad}_\Lambda(X, Y)$ و $\alpha'' \in \mathrm{rad}_\Lambda^n(Y, B)$. با استفاده از فرض استقرا:

$$\alpha'' = f_n \circ \beta \implies \alpha = f_n \circ \beta \circ \alpha' = f_n \circ h \circ \beta' = f_{n+1} \circ \beta'$$

بنابراین زیرمجموعگی $\mathrm{rad}_\Lambda^{n+1}(X, B) \subseteq \mathrm{Im}\,\mathrm{Hom}_\Lambda(X, f_{n+1})$ محقق شده و تساوی و برهان لم کامل می‌گردد.

۲. اثبات حکم ۷.۹

اکنون فرض می‌کنیم تکیه‌گاه $\mathrm{Hom}_\Lambda(-, B)$ نامتناهی باشد. اگر برای مقداری از $n$ خارج‌قسمت برابر صفر می‌بود، آنگاه زنجیره زودتر متوقف می‌شد، در حالی که با به‌کارگیری لم ۷.۱۰ و تجزیهٔ $C_n$ به جمع مستقیم مؤلفه‌های تجزیه‌ناپذیر، نشان داده می‌شود که:

$$\mathrm{rad}_\Lambda^n(-, B) / \mathrm{rad}_\Lambda^{n+1}(-, B) \neq 0$$

و این موضوع گواه وجود بی‌پایان ریخت‌های تجزیه‌ناپذیر متوالی در رستهٔ مدول‌های جبرهای نامتناهی‌نمایش است.