ریاضیات

بسط ترکیبی ریخت‌ها و مفهوم تکیه‌گاه (Support)

۱. نمایش تحلیلی ریخت‌های رادیکال

اگر $f \in \mathrm{rad}_\Lambda^n(A, B) \setminus \mathrm{rad}_\Lambda^{n+1}(A, B)$ باشد، آنگاه حداقل یکی از جملات در تجزیه، زنجیره‌ای از $n$ هم‌ریختی تجزیه‌ناپذیر میان مدول‌های تجزیه‌ناپذیر است؛ یعنی مدول‌های تجزیه‌ناپذیر $A_1, \dots, A_t$ و ریخت‌های $f_i : A \to A_i$ و $g_i \in \mathrm{rad}_\Lambda^{n-1}(A_i, B)$ وجود دارند به طوری که:

$$f = \sum_{i=1}^t g_i \circ f_i$$

۲. مفهوم تکیه‌گاه یا حامل یک فانکتور (Support of Functor)

برای هر مدول $B \in \mathrm{mod}\,\Lambda$ و هر $n \in \mathbb{N}$، زیرفانکتورهای $\mathrm{rad}_\Lambda^n(-, B)$ و $\mathrm{rad}_\Lambda^n(B, -)$ از فانکتورهای هوم $\mathrm{Hom}_\Lambda(-, B)$ و $\mathrm{Hom}_\Lambda(B, -)$ با اثر روی مدول‌ها تعریف می‌شوند:

• $\mathrm{rad}_\Lambda^n(-, B)(A) = \mathrm{rad}_\Lambda^n(A, B)$
• $\mathrm{rad}_\Lambda^n(B, -)(A) = \mathrm{rad}_\Lambda^n(B, A)$