ریاضیات

هم‌ریختی‌های تجزیه‌ناپذیر (Irreducible Morphisms)

۱. تعریف ریخت تجزیه‌ناپذیر

فرض کنید $f : A \to B$ یک هم‌ریختی در $\mathrm{mod}\,\Lambda$ باشد. $f$ را یک هم‌ریختی تجزیه‌ناپذیر (تحویل‌ناپذیر) می‌نامیم هرگاه:

1. $f$ نه بخش‌پذیر از چپ باشد (یعنی مقطع/بخش نداشته باشد) و نه بخش‌پذیر از راست (یعنی پوشش نداشته باشد).
2. اگر $f = h \circ g$ با $g : A \to X$ و $h : X \to B$ باشد، آنگاه یا $g$ مقطع دارد یا $h$ پوشش دارد.

به بیان رادیکالی، اگر $A$ و $B$ تجزیه‌ناپذیر باشند، $f$ تجزیه‌ناپذیر است اگر و تنها اگر $f \in \mathrm{rad}_\Lambda(A, B) \setminus \mathrm{rad}_\Lambda^2(A, B)$.

۲. رفتار با مدول‌های تجزیه‌ناپذیر

می‌دانیم اگر $M$ یک مدول تجزیه‌ناپذیر باشد، آنگاه $\mathrm{rad}_\Lambda(M, X)$ مجموعهٔ تمام ریخت‌هایی است که تک‌ریختی مقطعی نیستند و $\mathrm{rad}_\Lambda(X, M)$ مجموعهٔ ریخت‌هایی است که برریختی پوششی نیستند.

۳. تجزیه برحسب ریخت‌های تجزیه‌ناپذیر

می‌توان هر ریخت در $\mathrm{rad}_\Lambda^n(A, B)$ را به صورت ترکیبی از هم‌ریختی‌های تجزیه‌ناپذیر توصیف کرد. برای مدول‌های تجزیه‌ناپذیر $A$ و $B$ و هر $f \in \mathrm{rad}_\Lambda^n(A, B)$ با $n \ge 1$، ریخت $f$ به صورت مجموعی از ترکیبات متوالی ریخت‌های تجزیه‌ناپذیر نمایش داده می‌شود.