ریاضیات

تقاطع توان‌های رادیکال و پایایی در جبرهای آرتینی

<

در رستهٔ مدول‌های متناهی‌مولد روی یک جبر آرتین $\Lambda$، رادیکال بی‌نهایت به صورت تقاطع تمام توان‌های متناهی رادیکال تعریف می‌شود

۱. رفتار رادیکال نسبت به جمع‌های مستقیم

تذکر: هر رابطهٔ $R$-رسته‌ای نسبت به تجزیه رفتار جمعی مناسبی دارد؛ بدین معنا که اگر $A \simeq \bigoplus_{i=1}^n A_i$ و $B \simeq \bigoplus_{j=1}^m B_j$ تجزیهٔ مدول‌ها به جمع مستقیم باشند و نگاشت‌های شمول و تصویر با $\alpha_i : A_i \to A$ و $\beta_j : B \to B_j$ مشخص شوند، آنگاه ریخت $f : A \to B$ در $\mathrm{rad}_\Lambda^n(A, B)$ قرار دارد اگر و تنها اگر برای تمام $i$ و $j$ داشته باشیم

$\beta_j \circ f \circ \alpha_i \in \mathrm{rad}_\Lambda^n(A_i, B_j)

۲. لم ۷.۲: پایدار شدن زنجیرهٔ توانی رادیکال

لم ۷.۲: برای هر دو مدول $A, B \in \mathrm{mod}\,\Lambda$، یک عدد طبیعی $n \in \mathbb{N}$ وجود دارد به طوری که

$$\mathrm{rad}_\Lambda^n(A, B) = \mathrm{rad}_\Lambda^\infty(A, B)$

برهان: چون مدول‌های $A$ و $B$ متناهی‌مولد هستند و جبر آرتینی است، $\mathrm{Hom}_\Lambda(A, B)$ به عنوان یک $R$-مدول دارای طول متناهی است. بنابراین زنجیرهٔ نزولی زیرزیرمدول‌ها

$$\mathrm{Hom}_\Lambda(A, B) \supset \mathrm{rad}_\Lambda(A, B) \supset \dots \supset \mathrm{rad}_\Lambda^n(A, B) \supset \dots$

پس از تعداد متناهی گام پایدار می‌شود؛ یعنی عدد $n$ یافت می‌شود که $\mathrm{rad}_\Lambda^\infty(A, B) = \mathrm{rad}_\Lambda^n(A, B)$

v>>.>>$>>:>>$>>:>3>>$>>:>3>>$">>:p>2>