ریاضیات

بستار ایده‌آلی و توان‌های متوالی رادیکال (Radⁿ)

۱. خاصیت جذب ضربی (ایده‌آل رسته‌ای)

برای تکمیل اثبات ایده‌آل بودن، نشان می‌دهیم که:

• اگر f ∈ Rad_Λ(A, B) و f' ∈ Hom_Λ(B, C) باشد، آنگاه f' ∘ f ∈ Rad_Λ(A, C).
• به‌طور دوگان، اگر f'' ∈ Hom_Λ(E, A) باشد، آنگاه f ∘ f'' ∈ Rad_Λ(E, B).

این ویژگی نشان می‌دهد که Rad_Λ(A, B) نه تنها یک زیرگروه، بلکه یک R-زیرمدول از Hom_Λ(A, B) است و بنابراین Rad_Λ یک رابطه/ایده‌آل رسته‌ای روی mod Λ تشکیل می‌دهد.

۲. تعریف توان‌های مرتبه n رادیکال (Radⁿ)

برای دو مدول A, B ∈ mod Λ و هر عدد طبیعی n، توان n-ام رادیکال به صورت استقرایی چنین تعریف می‌شود:

Radⁿ_Λ(A, B) = { f ∈ Hom_Λ(A, B) | f = h ∘ g , g ∈ Rad_Λ(A, X) , h ∈ Rad^{n-1}_Λ(X, B) }

که در آن X یک مدول دلخواه در mod Λ است. این زنجیرهٔ توانی نقش اساسی در آنالیز ریخت‌های تحویل‌ناپذیر و ساختار کوییرهای اوسلندر-ریتن دارد.